Kẻ IK là phân giác của góc BIC(K∈BC)

Xét ΔABC có \(\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0-60^0=120^0\)

=>\(2\left(\hat{IBC}+\hat{ICB}\right)=120^0\)

=>\(\hat{IBC}+\hat{ICB}=60^0\)

Xét ΔIBC có \(\hat{IBC}+\hat{ICB}+\hat{BIC}=180^0\)

=>\(\hat{BIC}=180^0-60^0=120^0\)

IK là phân giác của góc BIC

=>\(\hat{BIK}=\hat{CIK}=\frac12\cdot120^0=60^0\)

Ta có: \(\hat{BIF}+\hat{BIC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{BIF}=180^0-120^0=60^0\)

TA có: \(\hat{BIC}+\hat{CIE}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{CIE}=180^0-120^0=60^0\)

Xét ΔBFI và ΔBKI có

\(\hat{FBI}=\hat{KBI}\)

BI chung

\(\hat{FIB}=\hat{KIB}\)

Do đó:ΔBFI=ΔBKI

=>IF=IK(1)

Xét ΔCKI và ΔCEI có

\(\hat{KCI}=\hat{ECI}\)

CI chung

\(\hat{KIC}=\hat{EIC}\left(=60^0\right)\)

Do đó: ΔCKI=ΔCEI

=>KI=EI(2)

Từ (1),(2) suy ra IF=IE

Bạn kham khảo link này nhé.

Câu hỏi của Đào Gia Khanh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

tam giác ABC có : BE; CF là trung tuyến và cắt nhau tại I

=> AI là trung tuyến (tc)

mà tam giác ABC cân tại A (Gt)

=> AI là phân giác của góc BAC (đl)

a)Xét\(\Delta ABC\)có:\(BE\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(B\left(GT\right)\)

\(CF\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(C\left(GT\right)\)

mà\(BE\)cắt\(CF\)tại\(I\)

\(\Rightarrow AI\)là đg trung tuyến xuất phát từ đỉnh\(A\)(Định lí về tính chất 3 đg trung tuyến của 1\(\Delta\))

mà\(\Delta ABC\)cân tại\(A\left(GT\right)\)

\(\Rightarrow AI\)vừa là đg trung tuyến vừa là đg p/g của\(\Delta ABC\)(Tính chất của tg cân)

b)Xét\(\Delta ABI\)và\(\Delta ACI\)có:

\(AI\)là cạnh chung

\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(\(AI\)là tia p/g của\(\widehat{BAC}\))

\(AB=AC\)(\(\Delta ABC\)cân tại\(A\))

Do đó:\(\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)(2 cạnh t/ứ)

\(BI=CI\)(2 cạnh t/ứ)

Xét\(\Delta ABE\)và\(\Delta ACF\)có:

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\left(cmt\right)\)

​\(AB=AC\)​(\(\Delta ABC\)cân tại\(A\))

A B C E F I

Cm: a) Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\frac{\widehat{B}}{2}\)

 \(\widehat{ACF}=\widehat{FCB}=\frac{\widehat{C}}{2}\)

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (Vì t/giác ABC cân)

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

Xét t/giác ACF và t/giác ABE

có: AB = AC (gt)

  \(\widehat{A}\) : chung

 \(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\) (cmt)

=> t/giác ABE = t/giác ACF (g.c.g)

=> BE = CF (2 cạnh t/ứng)

b) Đường phân giác BE cắt CF tại I

=> I là tâm đường tròn nội tiếp của t/giác

=> AI là đường phân giác thứ 3 của t/giác ABC

Mà t/giác ABC cân tại A

=> AI đồng thời là đường cao (t/c t/giác cân)

=> AI \(\perp\)BC (Đpcm)

Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\)góc B=góc C

mà BE là tia phân giác góc B nên B1 =B2 = \(\frac{1}{2}B\)

       CF là tia phân giác góc C nên C1= C2 = \(\frac{1}{2}C\)

\(\Rightarrow\)B1 = B2

Xét tam giác BFC và tam giác CEB có

góc B1 = C1( cmt )

BC là cạnh chung

góc B = C(cmt)

\(\Rightarrow\)Tam giác BFC = tam giác CEB( g.c.g)

\(\Rightarrow\)BE=CF( 2 cạnh tương ứng )

ΔABC cân tại A

mà AD là phân giác

nên AD là đường cao

Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

=>A,H,D thẳng hàng