Đặt BC=a

ΔABC đều

=>AB=BC=AC=a

Ta có: DC+DB=BC

=>2DB+BD=BC

=>BC=3BD

=>\(DB=\frac{BC}{3}=\frac{a}{3}\)

=>\(DC=2\cdot DB=\frac{2a}{3}\)

Xét ΔCDA có \(cosC=\frac{CA^2+CD^2-AD^2}{2\cdot CA\cdot CD}\)

=>\(\frac{a^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2-AD^2}{2\cdot a\cdot\frac23a}=cos60=\frac12\)

=>\(a^2+\frac49a^2-AD^2=\frac12\cdot\frac43a^2=\frac23a^2\)

=>\(AD^2=\frac{13}{9}a^2-\frac23a^2=\frac{13}{9}a^2-\frac69a^2=\frac79a^2\)

=>\(AD=\frac{a\sqrt7}{3}\)

Nửa chu vi của tam giác CDA là:

\(p=\frac12\left(AC+CD+AD\right)=\frac12\left(a+\frac{2a}{3}+\frac{a\sqrt7}{3}\right)=\frac12\cdot\frac{5a+a\sqrt7}{3}=\frac{5a+a\sqrt7}{6}\)

Diện tích tam giác CDA là:

\(S_{CDA}=\frac12\cdot CA\cdot CD\cdot\sin C=\frac12\cdot a\cdot\frac23a\cdot\sin60\)

\(=\frac13a^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{6}\)

Bán kính đường tròn nội tiếp ΔCDA là:

\(r=\frac{S_{CDA}}{p_{DAC}}=\frac{a^2\sqrt3}{6}:\frac{5a+a\sqrt7}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{5a+a\sqrt7}=\frac{a\sqrt3}{5+\sqrt7}\)

Xét ΔCDA có \(\frac{AD}{\sin C}=2R\)

=>\(2R=\frac{a\sqrt7}{3}:\sin60=\frac{a\sqrt7}{3}:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt7}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2a\sqrt7}{3\sqrt3}\)

=>\(R=\frac{a\sqrt7}{3\sqrt3}\)

\(\frac{R}{r}=\frac{a\sqrt7}{3\sqrt3}:\frac{a\sqrt3}{5+\sqrt7}=\frac{\sqrt7\left(5+\sqrt7\right)}{3\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{5\sqrt7+7}{9}\)

Chọn đáp án C.

Gọi M là trung điểm của BC: 

Do tam giác ABC đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABM ta có:

a: Xét (O) có 

OH là một phần đường kính

BC là dây

OH⊥BC tại H

Do đó:H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có 

AH là đường cao

AH là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

Xét ΔOBA và ΔOCA có 

OB=OC

BA=CA

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

Suy ra: \(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)

hay AC là tiếp tuyến

b: Xét ΔOBA vuông tại B có

\(\sin BAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\widehat{BAO}=30^0\)

hay \(\widehat{BAC}=60^0\)

mà ΔABC cân tại A

nên ΔABC đều

Chọn đáp án B.

Do O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên O đồng thời là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm BC: