Gọi P(x),R(x) lần lượt là thương và dư khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+R\left(x\right)\)

Khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) sẽ được dư là một đa thức bậc hai

=>Dư là \(R\left(x\right)=a\cdot x^2+bx+c\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

f(x) chia x+1 dư 4 nên f(-1)=4

Thay x=-1 vào f(x), ta được:

\(f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)\left\lbrack\left(-1\right)^2+1\right\rbrack\cdot P\left(x\right)+a\cdot\left(-1\right)^2+b\cdot\left(-1\right)+c\)

=>a-b+c=4

Ta có: \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+a+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left\lbrack\left(x+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\right\rbrack+bx+c-a\)

f(x) chia \(x^2+1\) dư 2x+3 nên bx+c-a=2x+3

=>b=2; c-a=3

a-b+c=4

=>a+c=4+b=4+2=6

mà c-a=3

nên \(c=\frac{3+6}{2}=4,5;a=4,5-3=1,5\)

Vậy: Đa thức dư là \(R\left(x\right)=1,5x^2+2x+4,5\)

Violimpic đúng ko

thi huyện bao nhiêu điểm bạn

Đặt \(A\left(x\right)=h\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)\)

\(=x^3+2x-2x^2-4=x^3-2x^2+2x-4\)

=>A(x) có bậc là 3

=>Đa thức dư khi F(x) chia cho A(x) sẽ có bậc tối đa là 2

Gọi đa thức dư đó có dạng là \(B\left(x\right)=ax^2+bx+c\) , gọi đa thức thương có dạng là \(Q\left(x\right)\)

Do đó, ta có: \(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\)

f(x) chia x-2 dư 21

=>f(2)=21

Thay x=2 vào \(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\) , ta được:

\(f\left(2\right)=q\left(2\right)\left(2-2\right)\left(x^2+2\right)+a\cdot2^2+b\cdot2+c\)

=>4a+2b+c=21

\(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\)

\(=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+2a+bx+c-2a\)

\(=\left(x^2+2\right)\left\lbrack Q\left(x\right)\left(x-2\right)+a\right\rbrack+bx+c-2a\)

f(x) chia \(x^2+2\) dư 2x-1 nên bx+c-2a=2x-1

=>b=2 và c-2a=-1

4a+2b+c=21

=>4a+4+c=21

=>4a+c=17

mà c-2a=-1

nên 4a+c-c+2a=17+1

=>6a=18

=>a=3

c-2a=-1

=>2a=c+1

=>c+1=6

=>c=5

Vậy: Đa thức dư là \(B\left(x\right)=3x^2+2x+5\)

f(x) chia \(x^2+2\) dư 2x-1

Áp dụng định lý Bezout ta được:

\(f\left(x\right)\)chia cho x+1 dư 4 \(\Rightarrow f\left(-1\right)=4\)

Vì bậc của đa thức chia là 3 nên \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)q\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+\left(ax^2+a\right)-a+bx+c\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left[\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\right]+bx+c-a\)

Vì \(f\left(-1\right)=4\)nên \(a-b+c=4\left(1\right)\)

Vì f(x) chia cho \(x^2+1\)dư 2x+3 nên

\(\hept{\begin{cases}b=2\\c-a=3\end{cases}\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c=6\\b=2\\c-a=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=2\\c=\frac{9}{2}\end{cases}}}\)

Vậy dư f(x) chia cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)là \(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}\)

Bạn vào đây xem thử

Câu hỏi của bababa ânnnanana - Toán lớp 8 | Học trực tuyến