Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1/2 AB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 1/2 AC.a) Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích tam giác ABC.b) P là điểm bất kì trên BC. So sánh diện tích tứ giác AMPN và diện tích tam giác ABC.c) Đoạn AP cắt đoạn MN tại Q. So sánh AQ và...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1/2 AB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 1/2 AC.
a) Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích tam giác ABC.
b) P là điểm bất kì trên BC. So sánh diện tích tứ giác AMPN và diện tích tam giác ABC.
c) Đoạn AP cắt đoạn MN tại Q. So sánh AQ và QP.
a: Ta có: \(AM=\frac12AB\)
=>\(S_{AMC}=\frac12\times S_{ABC}\)
Ta có: \(AN=\frac12\times AC\)
=>\(S_{AMN}=\frac12\times S_{AMC}=\frac12\times\frac12\times S_{ABC}=\frac14\times S_{ABC}\)
b:
ta có: \(AM=\frac12\times AB\)
=>M là trung điểm của AB
=>\(BM=MA=\frac12\times BA\)
=>\(S_{BMC}=\frac12\times S_{ABC}\) (1)
Ta có: \(AN=\frac12\times AC\)
=>N là trung điểm của AC
=>\(CN=NA=\frac12\times CA\)
=>\(S_{BNC}=S_{BNA}=\frac12\times S_{CAB}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(S_{BMC}=S_{BNC}\)
Vì P nằm giữa B và C
nên \(\frac{S_{BMP}}{S_{BMC}}=\frac{BP}{BC}\)
Vì P nằm giữa B và C nên \(\frac{S_{CNP}}{S_{CNB}}=\frac{CP}{CB}\)
mà \(S_{CNB}=S_{CMB}\)
nên \(\frac{S_{CNP}}{S_{CMB}}=\frac{CP}{CB}\)
\(\frac{S_{BMP}}{S_{BMC}}+\frac{S_{CNP}}{S_{BMC}}=\frac{S_{BMP}+S_{CNP}}{S_{BMC}}=\frac{S_{ABC}-S_{AMPN}}{\frac12\times S_{ABC}}=2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\)
=>\(S_{BMP}+S_{CNP}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times S_{BMC}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times\frac12\times S_{ABC}=\left(2-2\times\frac{S_{AMPN}}{S_{ABC}}\right)\times\frac{S_{ABC}}{2}=S_{ABC}-S_{AMPN}\)
=>\(S_{ABC}-S_{AMPN}>0\)
=>\(S_{ABC}>S_{AMPN}\)
=>\(S_{AMPN}