Ta có \(S=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{2018}{2^{2018}}+\frac{2019}{2^{2019}}\)

=> 2S = \(1+1+\frac{3}{2^2}+...+\frac{2018}{2^{2017}}+\frac{2019}{2^{2018}}\)

Khi đó 2S - S = \(\left(1+1+\frac{3}{2^2}+..+\frac{2018}{2^{2017}}+\frac{2019}{2^{2018}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{2018}{2^{2018}}+\frac{2^{2019}}{2019}\right)\)

=> S = \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2017}}+\frac{1}{2^{2018}}-\frac{2019}{2^{2019}}\)

Đặt P = \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2017}}+\frac{1}{2^{2018}}\)

=> 2P = \(2+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{2016}}+\frac{1}{2^{2017}}\)

Khi đó 2P - P = \(\left(2+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{2016}}+\frac{1}{2^{2017}}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2017}}+\frac{1}{2^{2018}}\right)\)

P = \(2-\frac{1}{2^{2018}}\)

Thay P vào S 

=> S = \(2-\frac{1}{2^{2018}}-\frac{2019}{2^{2019}}=2-\frac{2}{2^{2019}}-\frac{2019}{2^{2019}}=2-\frac{2021}{2^{2019}}< 2\)

Vậy S < 2

a, trường hợp 1 :

a<b ta có :

ab+an<ab+bn

a.(b+n) < b(a+n)

a/b<a+n/b+

th2 bạn làm tương tử nhé thay dấu lớn thui phần b y hệt a nhé 100% đấy hum nay mình vừa học xong 

TH1: Nếu a>b ( a/b > 1 )=>     a.n    >  b.n

                                     hay a.n+a.b > b.n+a.b (cùng cộng a.b )

                                            a.(n+b) > b.(n+a)

                                        =>    a/b   >  n+a/n+b

TH2: Nếu a<b (a/b<1)=>   a.n     <  b.n

                                 hay a.n+a.b<b.n+a.b

                                        a.(n+b)<b.(n+a)

                                     => a/b     < a+n/b+n

Tương tự nếu a=b thì ta có a/b=a+n/b+n

Xét tích:

a(b + n) = ab + an       (1)

b(a + n) = ab + bn       (2)

TH1: nếu a < b

=> an < bn                 (3)

Từ (1),(2),(3) => a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

TH2: nếu a > b

=> an > bn                 (4)

Từ (1),(2),(4) => a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)

TH3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)

\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}\)

\(\frac{a+n}{b+n}=\frac{b\left(a+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+bn}{b\left(b+n\right)}\)

TH1: a = b

=> ab+an = ab+bn

=> \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}\)

TH2: a > b

=> ab+an > ab+bn

=> \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)

TH3: a < b

=> ab+an < ab+bn

=> \(\frac{a}{b}<\frac{a+n}{b+n}\)

a/b=ab+an/b^2+bn

a+n/b+n=ab+bn/b^2+bn

xảy ra ba trường hợp

a<b thi a/b<a+n/b+n

a=b thì.....=...........

a>b thì ....>...........

Vì ko cho điều kiện của a nên mình phải xét các trường hợp của a

Xét các trường hợp:

- a>b:

ta có: a.(b+n)=ab + an (n thuộc N*)

         b.(a+n)=ab + bn

=> ab+an > ab + bn ((vì a>b>0)

=> a.(b+n)>b(a+n) 

Hay a/b > a+n/b+n

- a=b:

ta có:

a.(b+n)=ab+an (n thuộc N*)

b.(a+n)=ab+bn

Mà a=b nên an=bn => ab+an=ab+bn 

hay a.(b+n)=b.(a+n)

=> a/b= a+n/b+n 

- 0<a<b:

ta có:

a(b+n)=ab + an (n thuộc N*)

b(a+n)= ab + bn

=> ab + an < ab + bn (do 0<a<b)

hay a(b+n) < b(a+n)

=> a/b < a+n/b+n

- a=0:

a/b=0

a+n/b+n= n/b+n > 0 (vì n thuộc N*)

=> a/b < a+n/b+n

- a<0

ta có:

a(b+n)= ba + an

b(a+n)= ab + bn

ba + an < ab + bn ( vì an<0; bn > 0)

hay a(b+n) < b(a+n)

=> a/b < a+n/b+n

Bạn tự kết luận nha