Cho tam giác abc có AM, BN, CP là đường cao sao cho BC+AM=AC+BN=AB+CP Chứng minh tam giác ABC đều
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
1 tháng 9
Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{AM}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
Xét ΔABC có BN là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{BN}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)
Xét ΔCAB có CP là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{CP}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\)
\(=\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{CP}\)
=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}\right|=\left|\overrightarrow{CP}\right|=CP\)
mà \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}\right|\le\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{BN}\right|=AM+BN\)
nên CP<=AM+BN(1)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{BN}\)
=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{BN}\right|=BN\)
mà \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}\right|\le\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{CP}\right|=AM+CP\)
nên BN<=AM+CP(2)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{AM}\)
=>\(\left|\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM\)
mà \(\left|\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right|\le\left|\overrightarrow{BN}\right|+\left|\overrightarrow{CP}\right|=BN+CP\)
nên AM<=BN+CP(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra AM,BN,CP là độ dài ba cạnh của một tam giác
20 tháng 6 2019
A b C B M N P G
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Vì là trung tuyến \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BN=\frac{3}{2}BG\\CP=\frac{3}{2}CG\end{cases}}\)
\(\Rightarrow BN+CP=\frac{3}{2}\left(BG+CG\right)\)
Mà theo bđt trong tam giác cho tam giác BGC thì \(BG+GC>BC\)
\(\Rightarrow BN+CP>\frac{3}{2}BC\)
A B C P N M
Xét diện tích tam giác ABC:
\(S_{ABC}=\frac{AM.BC}{2}=\frac{CP.AB}{2}=\frac{BN.AC}{2}\)
=> \(AM.BC=CP.AB=BN.AC\)
=> \(AM=\frac{CP.AB}{BC}\); \(BN=\frac{CP.AB}{AC}\)
Theo gt, ta có:
\(BC+AM=AB+CP\)
\(\Leftrightarrow BC+\frac{CP.AB}{BC}=AB+CP\)
\(\frac{\Leftrightarrow CP.AB}{BC}-AB=CP-BC\)
\(\frac{\Leftrightarrow\left(CP.AB-AB.BC\right)}{BC}=\frac{\left(CP.BC-BC^2\right)}{BC}\)
\(\frac{\Leftrightarrow AB.\left(CP-BC\right)}{BC}=\frac{BC.\left(CP-BC\right)}{BC}\)
\(\Rightarrow AB=BC\)(1)
Theo gt, ta lại có:
\(AC+BN=AB+CP\)
\(\Leftrightarrow AC+\frac{AB.PC}{AC}=AB+CP\)
\(\frac{\Leftrightarrow AB.PC}{AC}-AB=PC-AC\)
\(\frac{\Leftrightarrow\left(AB.PC-AB.AC\right)}{AC}=\frac{\left(CP.AC-AC^2\right)}{AC}\)
\(\frac{\Leftrightarrow AB.\left(PC-AC\right)}{AC}=\frac{AC.\left(CP-AC\right)}{AC}\)
\(\Rightarrow AB=AC\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB=BC=AC\)
=> ĐPCM
albaba nguyễn làm bài này cái !