Vì p,q là 2 SNT >5

Suy ra p,q là số lẻ

Suy ra p,q chia hết cho 2

Suy ra p^4,q^4 chia hết cho 4

Suy ra p^4+2019q^4 chia hết cho 4 (1)

Mặt khác: Xét 5 TH 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4

Suy ra p^4+2019q^4 chia hết cho 5 (2)

Mà (5;4)=1 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm

cảm ơn bn nhiều nha nhưng cách này mk làm r mk cần cách khac nhanh hơn

Lời giải:

$A=p^4+2019q^4=p^4-q^4+2020q^4$

$=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4$
Vì $p,q$ là số nguyên tố lớn hơn 5 nên $(p,5)=(q,5)=1$

$\Rightarrow p^2,q^2\equiv 1,4\pmod 5$

Nếu $p^2\equiv q^2\pmod 5$ thì $p^2-q^2\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A=(p^2-q^2)+2020q^4\equiv 0 \pmod 5(1)$

Nếu $p^2,q^2$ không cùng số dư khi chia cho $5$ thì:

$p^2+q^2\equiv 1+4\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A\equiv 0\pmod 5(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow A\vdots 5(*)$

Mặt khác:

Vì $p,q>5$ nên $p,q$ lẻ

$\Rightarrow p^2\equiv q^2\equiv 1\pmod 4$

$\Rightarrow p^2-q^2\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A\vdots 4(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots (4.5=20)$

Akai Haruma!(mod 5) và (mod 4) là j vậy 

p;q là các số nguyên tố lớn hơn5

=>p,q là các số lẻ và p,q đều không chia hết cho 3

p là số lẻ nên p=2a+1

\(p^4-1=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\)

=(p-1)(p+1)\(\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(2a+1-1\right)\left(2a+1+1\right)\left\lbrack\left(2a+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=2a\left(2a+2\right)\left(4a^2+4a+1+1\right)=2a\cdot2\cdot\left(a+1\right)\cdot2\cdot\left(2a^2+2a+1\right)\)

\(=8a\left(a+1\right)\left(2a^2+2a+1\right)\) ⋮8

p không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

TH1: p=3k+1

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\left\lbrack\left(3k+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+2\right)\) ⋮3(2)

TH2: p=3k+2

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\left\lbrack\left(3k+2\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)\left(9k^2+12k+4+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\left(9k^2+12k+5\right)\) ⋮3(1)

Từ (1),(2) suy ra \(p^4-1\) ⋮3

p là số nguyên tố lớn hơn 5

=>p không chia hết cho 5

=>p∈{5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}

TH1: p=5k+1

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1+1\right)\left\lbrack\left(5k+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+1+1\right)\)

\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+2\right)\) ⋮5(3)

TH2: p=5k+2

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2+1\right)\left\lbrack\left(5k+2\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)

\(=5\left(5k^2+4k+1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\) ⋮5(4)

TH3: p=5k+3

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3+1\right)\left\lbrack\left(5k+3\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)

\(=5\left(5k^2+6k+2\right)\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\) ⋮5(5)

TH4: p=5k+4

\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)

\(=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4+1\right)\left\lbrack\left(5k+4\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+3\right)\left(5k+5\right)\left(25k^2+40k+16+1\right)\)

\(=5\left(k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+40k+17\right)\) ⋮5(6)

Từ (3),(4),(5),(6) suy ra \(p^4-1\) ⋮5

mà \(p^4-1\) ⋮3 và \(p^4-1\) ⋮8; \(p^4-1\) ⋮2

và ƯCLN(3;5;8;2)=1

nên \(p^4-1\) ⋮3*5*8*2

=>\(p^4-1\) ⋮240(7)

q là số lẻ nên q=2b+1

\(q^4-1=\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)\)

=(q-1)(q+1)\(\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(2b+1-1\right)\left(2b+1+1\right)\left\lbrack\left(2b+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=2b\left(2b+2\right)\left(4b^2+4b+1+1\right)=2b\cdot2\cdot\left(b+1\right)\cdot2\cdot\left(2b^2+2b+1\right)\)

\(=8b\left(b+1\right)\left(2b^2+2b+1\right)\) ⋮8

q không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

TH1: q=3k+1

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\left\lbrack\left(3k+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+2\right)\) ⋮3(8)

TH2: q=3k+2

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\left\lbrack\left(3k+2\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)\left(9k^2+12k+4+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\left(9k^2+12k+5\right)\) ⋮3(9)

Từ (8),(9) suy ra \(q^4-1\) ⋮3

q là số nguyên tố lớn hơn 5

=>q không chia hết cho 5

=>q∈{5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}

TH1: q=5k+1

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1+1\right)\left\lbrack\left(5k+1\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+1+1\right)\)

\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+2\right)\) ⋮5(10)

TH2: q=5k+2

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2+1\right)\left\lbrack\left(5k+2\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)

\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)

\(=5\left(5k^2+4k+1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\) ⋮5(11)

TH3: q=5k+3

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3+1\right)\left\lbrack\left(5k+3\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)

\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)

\(=5\left(5k^2+6k+2\right)\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\) ⋮5(12)

TH4: q=5k+4

\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

\(=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4+1\right)\left\lbrack\left(5k+4\right)^2+1\right\rbrack\)

\(=\left(5k+3\right)\left(5k+5\right)\left(25k^2+40k+16+1\right)\)

\(=5\left(k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+40k+17\right)\) ⋮5(13)

Từ (10),(11),(12),(13) suy ra \(q^4-1\) ⋮5

mà \(q^4-1\) ⋮3 và \(q^4-1\) ⋮8; \(q^4-1\) ⋮2

và ƯCLN(3;5;8;2)=1

nên \(q^4-1\) ⋮3*5*8*2

=>\(q^4-1\) ⋮240(14)

Từ (7),(14) suy ra \(p^4-1-\left(q^4-1\right)\) ⋮240

=>\(p^4-q^4\) ⋮240

Câu hỏi của Bùi Quang Vinh - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath fedg

1.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)1.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240(p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240(q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240(p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì pp là số nguyến tố lớn hơn 55 nên pp là số lẻ
⟹(p−1)(p+1)⟹(p−1)(p+1) là tích của 22 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 88 (1)(1)
Do p>5p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)(2)
mặt khác vì pp là số lẻ nên p2p2 là số lẻ →p2+1→p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2p2+1 ⋮ 2 (3)(3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5p4−1 ⋮ 5:
pp có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5kp=5k mà pp là số nguyến tố nên k=1→p=5k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5⟹p4−1 ⋮ 5 (4)(4)
từ (1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4), suy ra p4−1p4−1 chia hết cho 2.3.5.82.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240q4−1 ⋮ 240
Kết luận.......................

p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+2 thì p+4=3k+2+4=3k+6=3(k+2)⋮3

=>Loại

=>p=3k+1

p+2021

=3k+1+2021

=3k+2022=3(k+674)⋮3

p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p là số lẻ

=>p+2021 là số chẵn

=>p+2021⋮2

mà p+2021⋮3

và ƯCLN(2;3)=1

nên p+2021⋮2*3

=>p+2021⋮6

p là số nguyên tố >5=>p lẻ ,p kochia hết cho 3=>p^4 chia 3 dư 1=>p-1 chia hết cho 3

p là nt   5=>p lẻ p^4-1 chia hết cho 16

p là NT 5=>p có số tận cùng là 1,3,7,9=>p^4 coa chữ số tận cùng là 1=>p^4 chia hết cho 10

p chia hết cho 3 ;10;16=> chia hết cho 240

click chữ xanh nha:Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

Đây thì chi tiết hơn:Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath