\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2+2xy}{xy}+\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{2xy}{x^2+y^2}+3\)

\(=\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+3\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2xy}.\frac{2xy}{x^2+y^2}}+\frac{2xy}{2xy}+3=6\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y.

Vậy GTNN của S là 6.

Lời giải:
\(D=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}\)

\(=\frac{x^2+xy+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}-1\)

\(\frac{x^2+xy+y^2}{9xy}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}+\frac{8(x^2+xy+y^2)}{9xy}-1\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{x^2+xy+y^2}{9xy}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}\geq 2\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{9xy}.\frac{xy}{x^2+xy+y^2}}=\frac{2}{3}\)

\(x^2+y^2\geq 2xy\Rightarrow \frac{8(x^2+xy+y^2)}{9xy}\geq \frac{8.3xy}{9xy}=\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow D\geq \frac{2}{3}+\frac{8}{3}-1=\frac{7}{3}=D_{\min}\)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

\(A=\frac{x^2}{y^2}+\frac{4y^2}{x^2}-\frac{x}{y}-\frac{2y}{x}+1\)

Đặt \(t = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\)

=>\(t^2 = \left(\frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{2y}{x} + \frac{4y^2}{x^2} = \frac{x^2}{y^2} + \frac{4y^2}{x^2} + 4\)

=>\(\frac{x^2}{y^2} + \frac{4y^2}{x^2} = t^2 - 4\)

Theo BĐT Cauchy, ta có:

\(\vert{}t\vert{} = \left\vert{}\frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\right\vert{} = \left\vert{}\frac{x}{y}\right\vert{} + \left\vert{}\frac{2y}{x}\right\vert{} \ge 2\sqrt{\left\vert{}\frac{x}{y}\right\vert{} \cdot \left\vert{}\frac{2y}{x}\right\vert{}} = 2\sqrt{2}\)

=>\(t\ge2\sqrt2;t\le-2\sqrt2\)

\(A = (t^2 - 4) - t + 1 = t^2 - t - 3\)

\(=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{4}\)

Xét hàm số \(f(t) = t^2 - t - 3\) trên tập [2\(\sqrt2\) ;+∞) và (-∞;\(-2\sqrt2\) ]

TH1: \(t\ge2\sqrt2\)

Vì trục đối xứng của f(t) là: \(t=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-1\right)}{2\cdot1}=\frac12<2\sqrt2\)

nên f(t) đồng biến trên khoảng [2\(\sqrt2\) ;+∞)

=>\(f(t)\ge f(2\sqrt{2})=(2\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}-3=8-2\sqrt{2}-3=5-2\sqrt{2}\)

TH2: \(t\le-2\sqrt2\)

Trên hàm số (-∞;\(-2\sqrt2\) ] thì f(t) nghịch biến

=>\(f(t)\ge f(-2\sqrt{2})=(-2\sqrt{2})^2-(-2\sqrt{2})-3=8+2\sqrt{2}-3=5+2\sqrt{2}\)

Vì \(5-2\sqrt2<5+2\sqrt2\)

nên A min=\(5-2\sqrt2\)

Dấu '=' xảy ra khi \(t=2\sqrt2\)

=>\(\frac{x}{y}=\sqrt2\)

=>\(x=y\sqrt2\)

gtnn ?