Áp dụng định lý Bơ-du:

Thay\(f\left(1\right)\) vào \(f\left(x\right)\),ta được:

\(1^{81}-45.1^{37}+2061=1-45+2061=2017\)

Vậy số dư là 2017

Chúc bạn học tốt

2017

Lời giải:
Gọi đa thức dư khi lấy $f(x)$ chia cho $x^2+x-6$ là $ax+b$ với $a,b\in\mathbb{R}$, $Q(x)$ là đa thức thương.

Theo bài ra ta có:

$f(2)=6067$

$f(-3)=-4043$

$f(x)=(x^2+x-6)Q(x)+ax+b=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b$

Cho $x=2$ thì:

$f(2)=0.Q(2)+2a+b=2a+b$

$\Leftrightarrow 6067=2a+b(1)$

Cho $x=-3$ thì:

$f(-3)=0.Q(-3)-3a+b=-3a+b$

$\Leftrightarrow -4043=-3a+b(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=2022; b=2023$

Vậy đa thức dư là $2022x+2023$

Gọi P(x),R(x) lần lượt là thương và dư khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+R\left(x\right)\)

Khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) sẽ được dư là một đa thức bậc hai

=>Dư là \(R\left(x\right)=a\cdot x^2+bx+c\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

f(x) chia x+1 dư 4 nên f(-1)=4

Thay x=-1 vào f(x), ta được:

\(f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)\left\lbrack\left(-1\right)^2+1\right\rbrack\cdot P\left(x\right)+a\cdot\left(-1\right)^2+b\cdot\left(-1\right)+c\)

=>a-b+c=4

Ta có: \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+a+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left\lbrack\left(x+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\right\rbrack+bx+c-a\)

f(x) chia \(x^2+1\) dư 2x+3 nên bx+c-a=2x+3

=>b=2; c-a=3

a-b+c=4

=>a+c=4+b=4+2=6

mà c-a=3

nên \(c=\frac{3+6}{2}=4,5;a=4,5-3=1,5\)

Vậy: Đa thức dư là \(R\left(x\right)=1,5x^2+2x+4,5\)

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)

Gọi thương của P(x) khi chi cho (x-2), (x-3) lần lượt là A(x),B(x)               =>P(x)=(x-2).A(x)+5  (1)      và P(x)=(x-3).B(x)=7 (2)                               Gọi thương của P(x) khi chia cho (x-2).(x-3) là C(x) và dư là R(x)           Ta có : (x-2)(x-3) có bậc là 2 =>  R(x) có bậc là 1 => R(x) có dạng ax+b  (a,b là số nguyên )                                                             =>R(x)=(x-2)(x-3).C(x)+ax+b  (3)                                                         thay x=2 vào (1) và (3) ta có: P(x)=2a+b=5                                            thay x=3 vào (2) và (3) ta có: P(x)=3a+b=7                                         => a=2,b=1 =>R(x)=2x+1                                                                      Vậy dư của P(x) khi chia cho (x-2)(x-3) là 2x+1

Huhuhahihohe

Đặt \(A\left(x\right)=h\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)\)

\(=x^3+2x-2x^2-4=x^3-2x^2+2x-4\)

=>A(x) có bậc là 3

=>Đa thức dư khi F(x) chia cho A(x) sẽ có bậc tối đa là 2

Gọi đa thức dư đó có dạng là \(B\left(x\right)=ax^2+bx+c\) , gọi đa thức thương có dạng là \(Q\left(x\right)\)

Do đó, ta có: \(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\)

f(x) chia x-2 dư 21

=>f(2)=21

Thay x=2 vào \(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\) , ta được:

\(f\left(2\right)=q\left(2\right)\left(2-2\right)\left(x^2+2\right)+a\cdot2^2+b\cdot2+c\)

=>4a+2b+c=21

\(f\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+bx+c\)

\(=Q\left(x\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2\right)+ax^2+2a+bx+c-2a\)

\(=\left(x^2+2\right)\left\lbrack Q\left(x\right)\left(x-2\right)+a\right\rbrack+bx+c-2a\)

f(x) chia \(x^2+2\) dư 2x-1 nên bx+c-2a=2x-1

=>b=2 và c-2a=-1

4a+2b+c=21

=>4a+4+c=21

=>4a+c=17

mà c-2a=-1

nên 4a+c-c+2a=17+1

=>6a=18

=>a=3

c-2a=-1

=>2a=c+1

=>c+1=6

=>c=5

Vậy: Đa thức dư là \(B\left(x\right)=3x^2+2x+5\)

f(x) chia \(x^2+2\) dư 2x-1