a: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\left(m-3\right)\left(m+2\right)\ne0\)

hay \(m\notin\left\{3;-2\right\}\)

Để phương trình có vô số nghiệm thì \(m-3=0\)

hay m=3

Để phương trình vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)\left(m+2\right)=0\\m^2-4m+3< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\)

Với \(m=0\)

\(PT\Leftrightarrow2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

Với \(m\ne0\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m\left(m-3\right)=m+1\)

PT vô nghiệm \(\Leftrightarrow m+1< 0\Leftrightarrow m< -1\)

PT có nghiệm kép \(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{b'}{a}=\dfrac{m-1}{2m}\)

PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1;m\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{m-1+\sqrt{m+1}}{m}\\x=\dfrac{m-1-\sqrt{m+1}}{m}\end{matrix}\right.\)

\(PT\Leftrightarrow m^2x-m^2-5mx+m+6x+2=0\\ \Leftrightarrow x\left(m^2-5m+6\right)=m^2-m-2\\ \Leftrightarrow x\left(m-2\right)\left(m-3\right)=\left(m-2\right)\left(m+1\right)\)

Với \(m\ne2;m\ne3\)

\(PT\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(m-2\right)\left(m+1\right)}{\left(m-2\right)\left(m-3\right)}=\dfrac{m+1}{m-3}\)

Với \(m=2\Leftrightarrow0x=0\left(vsn\right)\)

Với \(m=3\Leftrightarrow0x=4\left(vn\right)\)

Vậy với \(m\ne2;m\ne3\) thì PT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{m+1}{m-3}\), với \(m=2\) thì PT có vô số nghiệm và với \(m=3\) thì PT vô nghiệm

a: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\left(m-3\right)\left(m+2\right)< >0\)

hay \(m\notin\left\{3;-2\right\}\)

Để phương trình vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)\left(m+2\right)=0\\\left(m-3\right)\left(m-1\right)< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\)

Để phương trình có vô số nghiệm thì m=3

\(x^2-\left(3m-2\right)x+2m\left(m-2\right)<0\) (1)

Tam thức bậc hai ở (1) luôn có hai nghiệm \(x_1=2m\)

và \(x_2=m-2\) với mọi \(m\in R\) Từ đó ta có 

- Khi 2m<m-2 hay m<-2 thì (1) có nghiệm 2m<x<m-2

- Khi 2m=m-2 hay m=-2 thì (1) vô nghiệm 

- Khi 2m>m-2 hay m>-2 thì (1) có nghiệm m-2<x<2m

ĐKXĐ: x>=1

Ta có: \(\left(x-m\right)\cdot\sqrt{x-1}=x^2-m^2\)

=>\(\left(x-m\right)\cdot\sqrt{x-1}=\left(x-m\right)\left(x+m\right)\)

=>\(\left(x-m\right)\left(x+m-\sqrt{x-1}\right)=0\)

TH1: x-m=0

=>x=m

=>Để x=m tồn tại thì m>=1

TH2: \(x+m-\sqrt{x-1}=0\)

=>\(x+m=\sqrt{x-1}\)

=>\(\begin{cases}x+m\ge0\\ \left(x+m\right)^2=x-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge-m\\ x^2+2mx+m^2-x+1=0\end{cases}\)

=>x>=-m và \(x^2+x\left(2m-1\right)+m^2+1=0\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-4m^2+4=-4m+5\)

Để phương trình có nghiệm thì -4m+5>=0

=>-4m>=-5

=>m<=5/4

=>1<=m<=5/4

Vậy: Khi 1<=m<=5/4 thì phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt

Khi m<1 thì phương trình vô nghiệm

Khi m>5/4 thì phương trình có nghiệm duy nhất là x=m