M thuộc Ox nên M(x;0)

\(\overrightarrow{MA}=\left(1-x;5\right)\)

\(\overrightarrow{BM}=\left(x-4;-2\right)\)

\(\overrightarrow{BA}=\left(-3;3\right)\)

Vì ΔMAB vuông tại B nên (x-4)*(-3)+(-2)*3=0

=>-3(x-4)-6=0

=>3(x-4)+6=0

=>x-4=-2

=>x=2

a) Do M, N, P là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = {x_M}\\\frac{{{x_B} + {x_A}}}{2} = {x_P}\\\frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = {x_N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 4\\{x_B} + {x_A} = 2\\{x_A} + {x_C} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3\\{x_B} =  - 1\\{x_C} = 5\end{array} \right.\)  và  \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = {y_M}\\\frac{{{y_B} + {y_A}}}{2} = {y_P}\\\frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = {y_N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 0\\{y_B} + {y_A} = 4\\{y_A} + {y_C} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 5\\{y_B} =  - 1\\{y_C} = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {3;5} \right),B\left( { - 1; - 1} \right),C\left( {5;1} \right)\)

b) Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right) + 5}}{3} = \frac{7}{3}\\\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{5 + \left( { - 1} \right) + 1}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Trọng tâm tam giác MNP có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 4 + 1}}{3} = \frac{7}{3}\\\frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{0 + 2 + 3}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Vậy trọng tâm của 2 tam giác ABC và MNP là trùng nhau vì có cùng tọa độ.

Do C thuôc trục hoành nên tọa độ có dạng \(C\left(c;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(c+2;-4\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(c-8;-4\right)\end{matrix}\right.\)

Do tam giác ABC vuông tại C \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\)

\(\Rightarrow\left(c+2\right)\left(c-8\right)+16=0\)

\(\Rightarrow c^2-6c=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=0\\c=6\end{matrix}\right.\)

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là \(C\left(0;0\right)\) và \(C\left(6;0\right)\)

Do C thuộc trục tung nên tọa độ có dạng \(C\left(0;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;-1\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-1;c-2\right)\end{matrix}\right.\)

Do tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Rightarrow4-\left(c-2\right)=0\Rightarrow c=6\)

\(\Rightarrow C\left(0;6\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(-1;4\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{17}\\AC=\sqrt{\left(-1\right)^2+4^2}=\sqrt{17}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{17}{2}\)

M thuộc Oy \(\Rightarrow M\left(0;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(1;y-3\right)\end{matrix}\right.\)

ABM vuông tại B \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BM}=0\)

\(\Rightarrow-2+y-3=0\Rightarrow y=5\)

\(\Rightarrow M\left(0;5\right)\)

a: Δ//d

=>Δ: 2x-y+c=0

Thay x=1 và y=-2 vào Δ, ta được:

c+2+2=0

=>c=-4

b: B thuộc d nên B(x;2x+3)

M(1;-2); A(0;3)

\(\overrightarrow{MA}=\left(-1;5\right);\overrightarrow{MB}=\left(x-1;2x+5\right)\)

ΔBAM vuông tại M

=>-1(x-1)+5(2x+5)=0

=>-x+1+10x+25=0

=>9x=-26

=>x=-26/9

=>B(-26/9;-25/9)

B(-2;4); A(1;3); C(x;y)

\(\overrightarrow{BA}=\left(1+2;3-4\right)=\left(3;-1\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(x+2;y-4\right)\)

ΔBAC vuông tại B

=>\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>3(x+2)+(-1)(y-4)=0

=>3x+6-y+4=0

=>3x+10-y=0

=>y=3x+10

ΔBAC vuông cân tại B

=>BA=BC

=>\(BA^2=BC^2\)

=>\(3^2+\left(-1\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2\)

=>\(\left(x+2\right)^2+\left(3x+10-4\right)^2=10\)

=>\(10\left(x+2\right)^2=10\)

=>\(\left(x+2\right)^2=1\)

=>x+2=1 hoặc x+2=-1

=>x=-1 hoặc x=-3

Khi x=-1 thì y=3x+10=-3+10=7

Khi x=-3 thì y=3x+10=-9+10=1

Vậy: C(-1;7); C(-3;1)

Do M thuộc Oy nên tọa độ có dạng \(M\left(0;m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(-1;m-2\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(1;m-1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{1+\left(m-2\right)^2}\\BM=\sqrt{1+\left(m-1\right)^2}\end{matrix}\right.\)

Do tam giác AMB cân tại M \(\Rightarrow AM=BM\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)^2=\left(m-1\right)^2\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow OM=\dfrac{3}{2}\)

a: A(3;1); B(5;3); C(-1;1)

\(AB=\sqrt{\left(5-3\right)^2+\left(3-1\right)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{\left(-1-3\right)^2+\left(1-1\right)^2}=\sqrt{\left(-4\right)^2}=4\)

\(BC=\sqrt{\left(-1-5\right)^2+\left(1-3\right)^2}=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{10}\)

=>ΔABC không là tam giác vuông cân

b: M(x;y); A(3;1); B(5;3); C(-1;1)

\(\overrightarrow{MA}=\left(3-x;1-y\right);\overrightarrow{MB}=\left(5-x;3-y\right)\) ; \(\overrightarrow{MC}=\left(-1-x;1-y\right)\)

\(\overrightarrow{MA}-2\cdot\overrightarrow{MB}+4\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

=>3-x-2(5-x)+4(-1-x)=0 và 1-y-2(3-y)+4(1-y)=0

=>3-x-10+2x-4-4x=0 và 1-y-6+2y+4-4y=0

=>-3x+11=0 và -3y-1=0

=>-3x=-11 và 3y=-1

=>x=11/3 và y=-1/3

=>M(11/3;-1/3)