C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân

a: Xét (O) có

MA,MH là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MH và OM là phân giác của góc AOH

Xét (O) có

NH.NB là các tiếp tuyến

Do đó: NH=NB và ON là phân giác của góc HOB

OM là phân giác của góc AOH

=>\(\hat{AOH}=2\cdot\hat{HOM}\)

ON là phân giác của góc HOB

=>\(\hat{HOB}=2\cdot\hat{HON}\)

Ta có: \(\hat{AOH}+\hat{HOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{HOM}+\hat{HON}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{MON}=180^0\)

=>\(\hat{MON}=90^0\)

b: MN=MH+HN

=MA+NB

c: Xét ΔOMN vuông tại O có OH là đường cao

nên \(HM\cdot HN=OH^2\)

=>\(MA\cdot NB=OH^2=R^2\)

d: Gọi I là trung điểm của MN

ΔOMN vuông tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên IO=IM=IN

=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOMN

Xét hình thang AMNB có

O,I lần lượt là trung điểm của AB,MN

=>OI là đường trung bình của hình thang AMNB

=>OI//AM//BN

=>OI⊥AB

=>AB là tiếp tuyến tại O của (I)

a: Xét tứ giác PAOM có

góc PAO+góc PMO=180 độ

=>PAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

PA,PM là tiếp tuyến

nên PA=PM và OP là phân giác của góc MOA(1)

mà OA=OM

nên OP là trung trực của AM

=>OP vuông góc AM

Xét (O) có

QM,QB là tiếp tuyến

nên QM=QB và OQ là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OQ là trung trực của MB

=>OQ vuông góc MB tại K

Từ (1), (2) suy ra góc POQ=1/2*180=90 độ

Xét tứ giác MIOK có

góc MIO=góc MKO=góc IOK=90 độ

=>MIOK là hình chữ nhật

Xét ΔOPQ vuông tại O có OM là đường cao

nên MP*MQ=OM^2=R^2

=>AP*QB=OM^2=R^2 ko đổi

Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó; OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>2*\(\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

=>O nằm trên đường tròn đường kính CD

Xét hình thang ACDB có

N,O lần lượt là trung điểm cua CD,AB

=>NO là đường trung bình của hình thang ACDB

=>NO//AC//BD

NO//AC

AC⊥BA

Do đó: NO⊥AB

Xét (N) có

NO là bán kính

AB⊥NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến tại O của (N)

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

Bổ sung đề: Chứng minh CD=CM+MD và \(\hat{COD}=90^0\)

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

DO đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>ΔOCD vuông tại O

CM+MD=CD

=>CD=CA+BD

a: Xét (O) có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC và OM là phân giác của góc AOC

ΔOAC cân tại O

mà OM là phân giác

nên OM⊥AC tại K và K là trung điêm của AC

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CB

mà OM⊥AC

nên OM//CB

Gọi X là giao điểm của CB và AM

OM//CB

=>OM//BX

Xét ΔABX có

O là trung điểm của AB

OM//BX

Do đó: M là trung điểm của AX

=>AM=MX(1)

CH⊥AB

AX⊥ AB

Do đó: CH//AX

Xét ΔBAM có IH//AM

nên \(\frac{IH}{AM}=\frac{BI}{BM}\) (2)

Xét ΔBMX có CI//MX

nên \(\frac{CI}{MX}=\frac{BI}{BM}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra IH=CI

=>I là trung điểm của CH

Xét ΔCHA có

K,I lần lượt là trung điểm cua CA,CH

=>KI là đường trung bình của ΔCHA

=>KI//AH

=>KI//AB

54535

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là đường trung trực của MA

=>OC vuông góc với MA tại I

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

=>OD vuông góc với BM

Từ (1) và (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

=>O nằm trên đường tròn đường kính CD

Xét hình thang ABDC có

O,O' lần lượt là trung điểm của AB,CD

nên OO' là đường trung bình

=>OO''//AC

=>OO' vuông góc với AB

=>AB là tiếp tuyến của (O')

Điểm D ở đâu vậy bạn?

a: Xét (O) có 

DA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

DC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm

Do đó: DA=DC

Xét (O) có 

EC là tiếp tuyến có E là tiếp điểm

EB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

Do đó: EC=EB

Ta có: CD+CE=DE

nên DA+EB=DE