thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

Ta có: \(\begin{cases} ab + bc + ca + 2(a + b + c) = 8045 \quad &(1) \\ abc - a - b - c = -2 \quad &(2) \end{cases}\)

(2) =>a+b+c=abc+2

(1) =>\(ab + bc + ca + 2(abc + 2) = 8045\)

=>\(ab+bc+ca+2abc+4=8045\)

=>ab+bc+ac+2abc=8041(4)

(2)=>\(abc - a - b - c + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow (a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc - (ab + bc + ca) + (a + b + c) - 1\)

=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc - (ab + bc + ca) + (abc + 2) - 1\)

=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = 2abc - (ab + bc + ca) + 1 \quad (5)\)

Từ (4),(5) suy ra \((ab + bc + ca + 2abc) + (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 8041 + 2abc - (ab + bc + ca) + 1\)

=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0\)

=>a,b,c phải có một trong ba số bằng 1

Giả sử a=1

Thay a=1 vào (2), ta được:

\(1\cdot bc-1-b-c=-2\)

=>\(bc-b-c+1=0\)

=>(b-1)(c-1)=0

=>b=1 hoặc c=1

Giả sử b=1

Thay a=1 và b=1 vào (1), ta được:

\(1 \cdot 1 + 1 \cdot c + c \cdot 1 + 2(1 + 1 + c) = 8045\)

=>4c+5=8045

=>4c=8040

=>c=2020

a+b+c

=1+1+2020

=2022

Sử dụng quy tắc đa thức: \(P\left(a\right)-P\left(b\right)\) chia hết \(a-b\) cho đa thức hệ số nguyên

Do a;b;c;d lẻ nên hiệu của chúng đều chẵn

\(P\left(c\right)-P\left(a\right)=4\Rightarrow4⋮c-a\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c-a=-2\\c-a=-4\end{matrix}\right.\)

Tương tự ta có \(\left[{}\begin{matrix}b-a=-2\\b-a=-4\end{matrix}\right.\)

Mà \(a>b>c\) \(\Rightarrow b-a>c-a\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b-a=-2\\c-a=-4\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow a;b;c\) là 3 số nguyên lẻ liên tiếp

Lại có \(P\left(b\right)-P\left(d\right)=4⋮b-d\Rightarrow b-d=\left\{-4;-2;2;4\right\}\)

Tương tự: \(c-d=\left\{-4;-2;2;4\right\}\) (1)

Do đã chứng minh được a; b và c là 2 số lẻ liên tiếp \(\Rightarrow c=b-2\) ; \(c=a-4\) (2)

- Nếu \(b-d=-4\Rightarrow c-d=b-2-d=-4-2=-6\) không thỏa mãn (1) (loại)

- Nếu \(b-d=-2\Rightarrow c-d=b-d-2=-4\) \(\Rightarrow c=d-4\)

\(\Rightarrow d=a\) theo (2) trái giả thiết a;b;c;d phân biệt (loại)

- Nếu \(b-d=2\Rightarrow c-d=b-d-2=0\Rightarrow c=d\) trái giả thiết c;d phân biệt (loại)

- Nếu \(b-d=4\Rightarrow c-d=b-d-2=2\)

\(\Rightarrow d\) là số lẻ liền trước của c

Vậy a;b;c;d là bốn số nguyên lẻ liên tiếp theo thứ tự \(a>b>c>d\)

\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\ge\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)

\(minP=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)