1.a.

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x-10\right)\ge m\)

Đặt \(x^2+3x-10=t\ge-\dfrac{49}{4}\)

\(\Rightarrow\left(t+2\right)t\ge m\Leftrightarrow t^2+2t\ge m\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2+2t\) với \(t\ge-\dfrac{49}{4}\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-1\) ; \(f\left(-1\right)=-1\) ; \(f\left(-\dfrac{49}{4}\right)=\dfrac{2009}{16}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge-1\)

\(\Rightarrow\) BPT đúng với mọi x khi \(m\le-1\)

Có 30 giá trị nguyên của m

1b.

Với \(x=0\)  BPT luôn đúng

Với \(x\ne0\) BPT tương đương:

\(\dfrac{\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)}{x^2}\ge m\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{4}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{4}{x}+3\right)\ge m\)

Đặt \(x+\dfrac{4}{x}-2=t\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\\t\le-6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t\left(t+5\right)\ge m\Leftrightarrow t^2+5t\ge m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+5t\) trên \(D=(-\infty;-6]\cup[2;+\infty)\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2}\notin D\) ; \(f\left(-6\right)=6\) ; \(f\left(2\right)=14\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge6\)

\(\Rightarrow m\le6\)

Vậy có 37 giá trị nguyên của m thỏa mãn

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-3m+2\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-m\right)^2-3m+2\)

Ta có : \(\left(x-m\right)^2\ge0\)

Để \(f\left(x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow m>-\frac{2}{3}\)

Vậy để \(f\left(x\right)>0\forall x\inℝ\Leftrightarrow m>-\frac{2}{3}\)

P/s : K biết có sai chỗ nào k ạ ? Check hộ e :)

Bài vừa rồi mik làm sai nhé :(( Làm lại :

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-3m+2\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-m\right)^2-3m+2\)

Ta thấy : \(\left(x-m\right)^2\ge0\)

Để \(f\left(x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow2>3m\)

\(\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

Vậy để \(f\left(x\right)>0\forall x\inℝ\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

\(\Delta=\left\lbrack2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m+5\right)=4\left(m^2-2m+1-m-5\right)=4\left(m^2-3m-4\right)\)

=4(m-4)(m+1)

Để bất phương trình luôn đúng với mọi x thì Δ<0 và a>0

=>4(m-4)(m+1)<0 và 1>0

=>(m-4)(m+1)<0

=>-1<m<4

Đề viết thiếu, để ... (biểu thức trên) lớn hơn 0, ...

m thuộc (1;5)?

a: TH1: m=-1

BPT sẽ trở thành: \(\left(-1+1\right)x^2-2\left(-1+1\right)x+4\ge0\)

=>4>=0(đúng)

=>Nhận

TH2: m<>-1

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+1\right)\right\rbrack^2-4\cdot\left(m+1\right)\cdot4\)

\(=4\left(m+1\right)^2-16\left(m+1\right)=4\left(m+1\right)\left(m+1-4\right)=4\left(m+1\right)\left(m-3\right)\)

Để bất phương trình luôn đúng thì Δ<=0 và a>0

=>4(m+1)(m-3)<=0 và m+1>0

=>(m+1)(m-3)<=0 và m>-1

=>-1<=m<=3 và m>-1

=>-1<m<=3

Vậy: -1<=m<=3

b: TH1: m=-1

BPT sẽ trở thành:

\(\left(-1+1\right)x^2-2\cdot\left(-1\right)\cdot x-\left(-1-3\right)<0\)

=>2x+4<0

=>2x<-4

=>x<-2

=>Loại

TH2: m<>-1

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot\left(m+1\right)\left\lbrack-\left(m-3\right)\right\rbrack\)

\(=4m^2+4\left(m+1\right)\left(m-3\right)=4\left(m^2+m^2-3m+m-3\right)=4\left(2m^2-2m-3\right)\)

Để BPT vô nghiệm thì Δ<=0 và a>0

=>\(2m^2-2m-3\) <=0 và m+1>0

=>\(m^2-m-\frac32\) <=0 và m>-1

=>\(m^2-m+\frac14-\frac74\) <=0 và m>-1

=>\(\left(m-\frac12\right)^2\le\frac74\) và m>-1

=>\(\frac{-\sqrt7}{2}\le m-\frac12\le\frac{\sqrt7}{2}\) và m>-1

=>\(\frac{-\sqrt7+1}{2}\le m<=\frac{\sqrt7+1}{2}\) và m>-1

=>\(\frac{-\sqrt7+1}{2}\le m<=\frac{\sqrt7+1}{2}\)

c: \(\Delta=2^2-4\cdot\left(-1\right)\left(m-2018\right)\)

=4+4(m-2018)

=4(m-2018+1)

=4(m-2017)

Để BPT luôn đúng với mọi x thì Δ<0 và a<0

=>4(m-2017)<0 và -1<0(đúng)

=>m-2017<0

=>m<2017

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Có cách nào khác nx ạ?

TH1: m + 1 = 0 <=>  m = -1 

Khi đó bpt trở thành: -x - 1 < 0 <=> x > - 1 loại

TH2: m + 1 \(\ne\)0 <=> m\(\ne\)-1

Bất phương trình đúng với mọi số thực x 

<=> \(\hept{\begin{cases}m+1< 0\\\Delta< 0\end{cases}}\)

+) Giải: m + 1 < 0 <=> m < -1 (1)

+) Giải: \(\Delta< 0\)<=> \(m^2-4m\left(m+1\right)< 0\)

<=> \(-3m^2-4m< 0\)

<=> m > 0 hoặc m < -4/3 (2)

Từ (1) ; (2) ta có: m < -4/3