a: Kẻ BD vuông góc AC,CE vuông góc AB

góc BEC=góc BDC=90 độ

=>BEDC nội tiếp

=>góc AED=góc ACB

=>ΔAED đồng dạng vơi ΔACB

Tâm M của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE là trung điểm của BC

Gọi H là giao của BD và CE

=>AH vuông góc BC tại N

Gọi giao của OM với (O) là A'

ΔOBC cân tại O

=>OM vuông góc BC

AN<=A'M ko đổi

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AN\cdot BC< =\dfrac{1}{2}\cdot A'M\cdot BC_{kođổi}\)

Dấu = xảy ra khi A trùng A'

=>A là điểm chính giữa của cung BC

a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)

\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)

c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-6(x+2)+2(y+1)=0

=>-3(x+2)+y+1=0

=>-3x-6+y+1=0

=>y-3x-5=0

=>y=3x+5

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

=>x+6y=23

=>x+6(3x+5)=23

=>x+18x+30=23

=>19x=-7

=>x=-7/19

=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)

=>H(-7/19;74/19)

d: AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-6;1)

Phương trình BC là:

-6(x+2)+1(y+1)=0

=>-6x-12+y+1=0

=>-6x+y-11=0

=>y=6x+11

x+6y-23=0

=>x+6(6x+11)-23=0

=>x+36x+66-23=0

=>37x=-43

=>\(x=-\frac{43}{37}\)

=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)

=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)

e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)

\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)

a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)

\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)

c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-6(x+2)+2(y+1)=0

=>-3(x+2)+y+1=0

=>-3x-6+y+1=0

=>y-3x-5=0

=>y=3x+5

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

=>x+6y=23

=>x+6(3x+5)=23

=>x+18x+30=23

=>19x=-7

=>x=-7/19

=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)

=>H(-7/19;74/19)

d: AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-6;1)

Phương trình BC là:

-6(x+2)+1(y+1)=0

=>-6x-12+y+1=0

=>-6x+y-11=0

=>y=6x+11

x+6y-23=0

=>x+6(6x+11)-23=0

=>x+36x+66-23=0

=>37x=-43

=>\(x=-\frac{43}{37}\)

=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)

=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)

e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)

\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)

Đáp án A

Giả sử tứ diện ABCD có AB;AC'AD đội một vuông góc  ⇒ V A B C D = A B . A C . A D 6

Khi đó tứ diện MNPQ có MN;MP;MQ đội một vuông góc  ⇒ V M . N P Q = M N . M P . M Q 6

Ta chứng minh được M N A B + M P A C + M Q A D = 1  ( dựa vào định lý Thalet), khi đó

M N . M P . M Q = A B . A C . A D . M N A B . M P A C . M Q A D ≤ A B . A C . A D . M N A B + M P A C + M Q A D 3 27 = A B . A C . A D 27

Vậy  V M . N P Q = M N . M P . M Q 6 ≤ 1 27 . A B . A C . A D 6 = V 27 → V max = V 27