a: Xét tứ giác AMCN có

AM//NC

AM=CN

=>AMCN là hình bình hành

b:

AM+MB=AB

CN+ND=CD
mà AM=CN và AB=CD

nên MB=ND

Xét tứ giác DMBN có

BM//DN

BM=DN

=>DMBN là hình bình hành

Gọi E là trung điểm của MB, P là giao điểm của AI với CD. Đặt AB = a

   Theo định lý Ta-lét. Ta có: \(\frac{1}{2}=\frac{GE}{GN}=\frac{AE}{NP}\)

A M E G B I P C N D

\(=\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{1}{2}CD+CP}=\frac{4a}{3a+6CP}\Rightarrow CP=\frac{5a}{6}\)

Suy ra \(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{CP}=\frac{6}{5}\)

Vì \(\frac{GA}{GP}=\frac{GE}{GM}=\frac{1}{2}\)nên \(\frac{GA}{AP}=\frac{1}{3}\) (1)

Mà \(\frac{IA}{IP}=\frac{IB}{IC}=\frac{6}{5}\)nên kết hợp với (1) ta được: \(\frac{GI}{AP}=\frac{AI}{AP}-\frac{AG}{AP}=\frac{6}{11}-\frac{1}{3}=\frac{7}{33}\) (2)

  Chia theo vế của (1) cho (2) ta được:

 \(\frac{GA}{GI}=\frac{11}{7}\)

Tóm lại \(\frac{GA}{GI}=\frac{11}{7};\frac{IB}{IC}=\frac{6}{5}\)

Èo, lúc trước làm, giờ đọc lại chả hiểu gì:( mà lúc đó mới lớp 7 ko hiểu sao mình lại làm được ta:)) giờ làm ko đc:(

Ta có:ABCD là hình bình hành

=>\(S_{ABD}=\frac12\cdot S_{ABCD}=\frac{60}{2}=30\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

TA có: AN=2NB

=>\(S_{DNA}=2\cdot S_{DNB};S_{ONA}=2\cdot S_{ONB}\)

=>\(S_{DNA}-S_{ONA}=2\cdot\left(S_{DNB}-S_{ONB}\right)\)

=>\(S_{DOA}=2\cdot S_{DOB}\)

Ta có: AM=2MD

=>\(S_{BMA}=2\cdot S_{BMD};S_{OMA}=2\cdot S_{OMD}\)

=>\(S_{BMA}-S_{OMA}=2\cdot\left(S_{BMD}-S_{OMD}\right)\)

=>\(S_{BOA}=2\cdot S_{BOD}\)

Ta có: \(S_{BOA}+S_{AOD}+S_{BOD}=S_{ABD}\)

=>\(S_{DOB}+2\cdot S_{DOB}+2\cdot S_{DOB}=30\)

=>\(5\cdot S_{DOB}=30\)

=>\(S_{DOB}=\frac{30}{5}=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(S_{BOA}=S_{AOD}=2\cdot6=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: AN+NB=AB

=>AB=2NB+NB=3BN

=>\(S_{AOB}=3\cdot S_{ONB}\)

=>\(S_{ONB}=\frac{12}{3}=4\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: AM+MD=AD

=>AD=2MD+MD=3MD

=>\(MD=\frac13DA\)

=>\(S_{DMO}=\frac13\cdot S_{AOD}=\frac13\cdot12=4\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

\(S_{BON}+S_{DOM}=4+4=8\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

nài nhớ đây k thần kinh óc .... vừa thôi khùng trang yêu văn anh

Vì AE=CF và AE//CF (AB//CD do hbh ABCD) nên AECF là hbh

\(\left\{{}\begin{matrix}AE=CF\\AM=CN\\\widehat{A}=\widehat{C}\left(hbh.ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AME=\Delta CNF\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow ME=NF\left(4\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AE=CF\\AB=CD\end{matrix}\right.\Rightarrow AB-AE=CD-CF\Rightarrow BE=DF\left(1\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AM=CN\\AD=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow AD-AM=CN-BC\Rightarrow DM=BN\left(2\right)\)

ABCD là hbh nên \(\widehat{B}=\widehat{D}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\Delta DMN=\Delta BFE\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow MN=EF\left(5\right)\)

(4)(5) suy ra MENF là hbh