3.

Phương trình có 2 nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta=m^2-12\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge6+4\sqrt{3}\\m\le6-4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{3}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Hai nghiệm cùng lớn hơn -1 \(\Rightarrow-1< x_1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_1+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}+1>0\\-\dfrac{m}{m+1}>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{m+1}>0\\\dfrac{m+2}{m+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)

Kết hợp (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< 6-4\sqrt{3}\\m\ge6+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Những bài này đều là dạng toán lớp 10, thi lớp 9 chắc chắn sẽ không gặp phải

1. Có 2 cách giải:

C1: đặt \(f\left(x\right)=x^2+2mx-3m^2\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow1.f\left(1\right)< 0\Leftrightarrow1+2m-3m^2< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

C2: \(\Delta'=4m^2\ge0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+2m+1< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

a: mx+3m=3x-2

=>mx-3x=-3m-2

=>x(m-3)=-3m-2

\(\left(x-2\right)^2-x\left(x-3\right)-3=0\)

=>\(x^2-4x+4-x^2+3x-3=0\)

=>-x+1=0

=>-x=-1

=>x=1

Thay x=1 vào (1), ta được: 1(m-3)=-3m-2

=>-3m-2=m-3

=>-4m=-3+2=-1

=>\(m=\frac14\)

b: Để (1) vô nghiệm thì m-3=0 và -3m-2<>0

=>m=3

c: Để (1) có nghiệm duy nhất thì m-3<>0

=>m<>3

(1) sẽ tương đương: \(x=\frac{-3m-2}{m-3}\)

Để x nguyên thì -3m-2⋮m-3

=>-3m+9-11⋮m-3

=>-11⋮m-3

=>m-3∈{1;-1;11;-11}

=>m∈{4;2;14;-8}

\(m^2x-2m+2mx+2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2+2m-3\right)x=2\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+3\right)x=2\left(m-1\right)\)

- Với \(m=1\) pt có vô số nghiệm (ktm)

- Với \(m\ne1\Rightarrow x=\dfrac{2}{m+3}>0\Rightarrow m>-3\)

Vậy để pt có nghiệm dương duy nhất \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)

Bài 2: 

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m-2)(m+2)<0

hay -2<m<2

a:

TH1: m=0

=>5x^2-1=0(nhận)

TH2: m<>0

Đặt x^4=a

=>ma^2+5a-1=0

Δ=5^2-4*m*(-1)=25+4m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m+25>0

=>m>-25/4

b: TH1: m=-2

=>3x^2-1=0(nhận)

TH2: m<>-2

Đặt x^2=a

=>(m+2)*a^2+3a-1=0

Δ=3^2-4(m+2)*(-1)=4m+8+9=4m+17

Để pt có 2 nghiệm pb thì 4m+17>0

=>m>-17/4

để 2 pt có ít nhất một nghiệm chung thì

x^2+2x+m=x^2+mx+2=>m=2