Câu 1: 2a+b⋮13 và 5a-4b⋮13

=>-2(2a+b)+(5a-4b)⋮13

=>-4a-2b+5a-4b⋮13

=>a-6b⋮13

Câu 2:

\(\frac{2x^3+ax+b}{x+1}=\frac{2x^3+2x^2-2x^2-2x+\left(a+2\right)x+a+2+b-a-2}{x+1}\)

\(=2x^2-2x+\left(a+2\right)+\frac{b-a-2}{x+1}\)

\(2x^3+ax+b\) chia x+1 dư -6

=>b-a-2=-6

=>b-a=-4

=>a-b=4

=>a=b+4

\(\frac{2x^3+ax+b}{x-1}=\frac{2x^3-2x^2+2x^2-2x+\left(a+2\right)x-\left(a+2\right)+b+a+2}{x-1}\)

\(=2x^2+2x+\left(a+2\right)+\frac{b+a+2}{x-1}\)

\(2x^3+ax+b\) chia x-1 dư 21

=>b+a+2=21

=>b+a=19

=>b+b+4=19

=>2b=15

=>b=7,5

a=7,5+4=11,5

\(f(x) = 2x^3 + ax + b\)

Gọi \(f(x) = 2x^3 + ax+b = (x+1).Q(x) + 6 \)  (1)

\(f(x) = 2x^3 + ax + b = (x-2).H(x) + 21\)  (2)

Thay x = -1 vào (1) ta được : 

\(-2 - a + b = 6 => b-a = 8\)  (3)

Thay x = 2 vào (2) ta được : 

\(16+2a+b=21 => 2a + b = 5\)  (4)

Từ (3) và (4) \(=> b-a - 2a - b = 8-5 \)

\(=> -3a = 3 <=> a = -1 => b = 7\)

\(f\left(x\right)=x^3+ax+b\)

\(f\left(x\right)\)chia \(x+1\)dư \(7\)nên \(f\left(-1\right)=7\)

\(f\left(x\right)\)chia \(x-3\)dư \(5\)nên \(f\left(3\right)=5\)

\(\hept{\begin{cases}-1-a+b=7\\27+3a+b=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-\frac{15}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Lời giải:

Theo định lý Bezout về phép chia đa thức thì số dư của \(f(x)=2x^3+ax+b\) cho \(x+1\) và \(x-2\) lần lượt là \(f(-1)\) và \(f(2)\)

Do đó:

\(\left\{\begin{matrix} f(-1)=-2-a+b=-6\\ f(2)=16+2a+b=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -a+b=-4\\ 2a+b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=-1\end{matrix}\right.\)