\(n^2+2n+30\) là số chính phương

=>\(n^2+2n+30=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(n^2+2n+1-k^2=-29\)

=>\(\left(n+1\right)^2-k^2=-29\)

=>(n+1-k)(n+1+k)=-29

=>(n+1-k;n+1+k)∈{(1;-29);(-29;1);(-1;29);(29;-1)}

TH1: n+1-k=1 và n+1+k=-29

=>n+1-k+n+1+k=1-29

=>2n+2=-28

=>2n=-30

=>n=-15(loại)

TH2: n+1-k=-29 và n+1+k=1

=>n+1-k+n+1+k=1-29

=>2n+2=-28

=>2n=-30

=>n=-15(loại)

TH3: n+1-k=-1 và n+1+k=29

=>n+1-k+n+1+k=-1+29

=>2n+2=28

=>2n=26

=>n=13(nhận)

TH4: n+1-k=29 và n+1+k=-1

=>n+1-k+n+1+k=-1+29

=>2n+2=28

=>2n=26

=>n=13(nhận)

Lời giải:

Đặt  $n^2-2n+2020=a^2$ với $a\in\mathbb{N}^*$

$\Leftrightarrow (n-1)^2+2019=a^2$

$\Leftrightarrow 2019=(a-n+1)(a+n-1)$

Với $a\in\mathbb{N}^*, n\in\mathbb{N}$ thì $a+n-1>0$

$\Rightarrow a-n+1>0$. Vậy $a+n-1> a-n+1>0$

Mà tích của chúng bằng $2019$ nên ta có các TH sau:

TH1: $a+n-1=2019; a-n+1=1$

$\Rightarrow n=1010$ (tm)

TH2: $a+n-1=673, a-n+1=3$

$\Rightarrow n=336$

n=1

k minh nhe

đặt 2n + 34 = a^2

34 = a^2-n^2

34=(a-n)(a+n)

a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)

=>     a-n        1        2 

         a+n        34      17

        Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ

      Vậy ....

Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.

=>  S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP

Đặt n² - n + 13 = k² 
<--> 4n² - 4n + 52 = 4k² 
<--> (4n² - 4n + 1) + 51 = 4k² 
<--> (2n - 1)² + 51 = 4k² 
<--> 4k² - (2n - 1)^2 = 51 
<--> (2k - 2n + 1)(2k + 2n - 1) = 51 
<--> (2k - 2n + 1)(2k + 2n - 1) = 51.1 
Vì 2k - 2n + 1 và 2k + 2n - 1 là những số nguyên nên: 
{2k - 2n + 1 = 51 
{2k + 2n - 1 = 1 
hoặc: 
{2k - 2n + 1 = - 51 
{2k + 2n - 1 = - 1 
Giải các hệ PT trên ta tìm được k và n (cần tìm)