Giả sử trong 100 số nguyên dương đã cho không tồn tại 2 số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)

\(\Rightarrow a_1\ge1;a_2\ge2;a_3\ge3;....;a_{100}\ge100\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a^2_3}...+\frac{1}{a^2_{100}}\le\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{199}{100}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a^2_2}+...+\frac{1}{a^2_{100}}< \frac{199}{100}\) trái với giả thiết

Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 100 số a₁,a₂,...,a₁₀₀

Câu 3:

a; (x+1)(x-2)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+1=0\\ x-2=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right.\)

b: (x-2)(y-2)=5

=>(x-2;y-2)∈{(1;5);(5;1);(-1;-5);(-5;-1)}

=>(x;y)∈{(3;7);(7;3);(1;-3);(-3;1)}

Câu 1:

Đặt \(B=2^{99}+2^{98}+\cdots+2+1\)

=>\(2B=2^{100}+2^{99}+\cdots+2^2+2\)

=>2B-B=\(2^{100}+2^{99}+\cdots+2^2+2-2^{99}-2^{98}-\cdots-2-1\)

=>B=\(2^{100}-1\)

\(A=2^{100}-2^{99}-2^{98}-\cdots-2-1\)

\(=2^{100}-\left(2^{100}-1\right)=1\)

Đáp án A.

Ta có

F x = ∫ 3 x 2 + 1 2 x + 1 d x = x 3 + 1 2 ln 2 x + 1 + C  

mà F 0 = 0 ⇒ C = 0  

Do đó

F x = x 3 + 1 2 ln 2 x + 1 ⇒ F 1 = 1 + 1 2 ln 3 ⇒ a = 1 ; b = 1 ; c = 2 ⇒ a + b + c = 4 .

a1=1; a2=-1

\(a_3 = a_1 \cdot a_2 = 1 \cdot (-1) = -1\)

\(a_4 = a_2 \cdot a_3 = (-1) \cdot (-1) = 1\)

\(a_5 = a_3 \cdot a_4 = (-1) \cdot 1 = -1\)

\(a_6 = a_4 \cdot a_5 = 1 \cdot (-1) = -1\)

\(a_7 = a_5 \cdot a_6 = (-1) \cdot (-1) = 1\)

...

Do đó: Đây là dãy số lặp lại theo chu kì 3 số hạng

\(a_{3b+1}=1;a_{3b+2}=-1;a_{3b+3}=-1\)

Vì 100=3*33+1

nên \(a_{100}=a_{3b+1}=1\)