a) Có: `\Delta'=(m-2)^2-(m^2-4m)=m^2-4m+4-m^2+4m=4>0 forall m`

`=>` PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi `m`.

b) Viet: `x_1+x_2=-2m+4`

`x_1x_2=m^2-4m`

`3/(x_1) + x_2=3/(x_2)+x_1`

`<=> 3x_2+x_1x_2^2=3x_1+x_1^2 x_2`

`<=> 3(x_1-x_2)+x_1x_2(x_1-x_2)=0`

`<=>(x_1-x_2).(3+x_1x_2)=0`

`<=> \sqrt((x_1+x_2)^2-4x_1x_2) .(3+x_1x_2)=0`

`<=> \sqrt((-2m+4)^2-4(m^2-4m)) .(3+m^2-4m)=0`

`<=>  4.(3+m^2-4m)=0`

`<=> m^2-4m+3=0`

`<=>` \(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy `m \in {1;3}`.

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì ac<0

=>\(4m^2-m<0\)

=>m(4m-1)<0

=>0<m<1/4

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m-1;x_1x_2=\frac{c}{a}=4m^2-m\)

\(2\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_2<2\)

=>\(2\left(m-1\right)+3\left(4m^2-m\right)<2\)

=>\(12m^2-3m+2m-2<2\)

=>\(12m^2-m-4<0\)

=>\(m^2-\frac{1}{12}m-\frac13<0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac{1}{24}+\frac{1}{576}-\frac{145}{576}<0\)

=>\(\left(m-\frac{1}{24}\right)^2<\frac{145}{576}\)

=>\(-\frac{\sqrt{145}}{24}

=>\(\frac{-\sqrt{145}+1}{24}\) <m<\(\frac{\sqrt{145}+1}{24}\)

mà 0<m<1/4

nên 0<m<1/4

\(x^2+2\left(m+1\right)+4m-4=0\)

Theo Vi - ét, ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2\left(m+1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4m-4\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+3x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m+1\right)\right]^2+\left(4m-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2+2m+1\right)+4m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4+4m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m=0\)

\(\Leftrightarrow4m\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\Delta=\left\lbrack2\left(m-3\right)\right\rbrack^2-4\left(3m^2-8m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-6m+9\right)-12m^2+32m-20\)

\(=4m^2-24m+36-12m^2+32m-20=-8m^2+8m+16\)

\(=-8\left(m^2-m-2\right)=-8\left(m-2\right)\left(m+1\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-8(m-2)(m+1)>=0

=>(m-2)(m+1)<=0

=>-1<=m<=2

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-3\right)\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=3m^2-8m+5=\left(3m-5\right)\left(m-1\right)\end{cases}\)

\(x_1^2+2x_2^2-3x_1x_2=x_1-x_2\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-2x_2\right)-\left(x_1-x_2\right)=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-2x_2-1\right)=0\)

TH1: \(x_1-x_2=0\)

=>\(x_1=x_2\)

mà \(x_1+x_2=2\left(m-3\right)\)

nên \(x_1=x_2=\frac{2\left(m-3\right)}{2}=m-3\)

\(x_1x_2=3m^2-8m+5\)

=>\(3m^2-8m+5=\left(m-3\right)^2=m^2-6m+9\)

=>\(2m^2-2m-4=0\)

=>\(m^2-m-2=0\)

=>(m-2)(m+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}m-2=0\\ m+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=2\left(nhận\right)\\ m=-1\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH2: \(x_1-2x_2-1=0\)

=>\(x_1-2x_2=1\)

mà \(x_1+x_2=2\left(m-3\right)=2m-6\)

nên \(x_1-2x_2-x_1-x_2=1-2m+6=-2m+7\)

=>\(-3x_2=-2m+7\)

=>\(x_2=\frac{2m-7}{3}\)

\(x_1+x_2=2m-6\)

=>\(x_1=2m-6-\frac{2m-7}{3}=\frac{3\left(2m-6\right)-2m+7}{3}=\frac{4m-11}{3}\)

\(x_1x_2=3m^2-8m+5\)

=>\(\frac{\left(2m-7\right)\left(4m-11\right)}{9}=3m^2-8m+5\)

=>\(9\left(3m^2-8m+5\right)=\left(2m-7\right)\left(4m-11\right)\)

=>\(27m^2-72m+45=8m^2-50m+77\)

=>\(19m^2-22m-32=0\)

=>(19m+16)(m-2)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}19m+16=0\\ m-2=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=-\frac{16}{19}\left(nhận\right)\\ m=2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

a) Thay m=-2 vào phương trình, ta được:

\(x^2+4x+3=0\)

a=1; b=4; c=3

Vì a-b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=-1;x_2=\dfrac{-c}{a}=-3\)

Sửa đề: \(x^2-2\left(m-1\right)x-3-m=0\)

a: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-m-3\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)+4\left(m+3\right)\)

\(=4\left(m^2-m+4\right)=4\left(m^2-m+\frac14+\frac{15}{4}\right)=4\left(m-\frac12\right)^2+15\ge15>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì ac<0

=>-m-3<0

=>m+3>0

=>m>-3

c: Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right);x_1x_2=\frac{c}{a}=-m-3\)

Để phương trình có 2 nghiệm âm thì \(\begin{cases}x_1+x_2<0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)

=>2(m-1)<0 và -m-3>0

=>m-1<0 và -m>3

=>m<1 và m<-3

=>m<-3

d: \(x_1^2+x_2^2\ge10\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\ge10\)

=>\(\left(2m-2\right)^2\) -2(-m-3)>=10

=>\(4m^2-8m+4+2m+6\ge10\)

=>\(4m^2-6m\ge0\)

=>m(4m-6)>=0

=>m>=3/2 hoặc m<=0

e: \(x_1+x_2+2x_1x_2\)

=2(m-1)+2(-m-3)

=2m-2-2m-6

=-8

=>Đây là hệ thức không phụ thuộc vào m