Ta có:

\(A=\left(\dfrac{1}{2}\times7^{2012}\right)^{2015}-3^{2012}\)

Vì \(7\equiv2\pmod5\) nên:

\(7^{2012}\equiv2^{2012}\pmod5\)

Mà \(2^4\equiv1\pmod5\), suy ra:

\(7^{2012}\equiv1\pmod5\)

Do đó: \(\dfrac{1}{2}\times7^{2012}\equiv3\times1\equiv3\pmod5\)

Suy ra:

\(\left(\dfrac{1}{2}\times7^{2012}\right)^{2015}\equiv3^{2015}\pmod5\)

Vì \(3^4\equiv1\pmod5\) và \(2015=4\times503+3\), nên:

\(3^{2015}\equiv3^3=27\equiv2\pmod5\)

Mặt khác:

\(3^{2012}=(3^4)^{503}\equiv1\pmod5\)

Vậy: \(A\equiv2-1\equiv1\pmod5\)

Kết luận: A không chia hết cho 5.

Mình chỉ làm được ý 3 thôi: 

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

Chứng minh chia hết cho 7

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

A = (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ................ + (2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4) + 2⁴.(1 + 2 + 4) + ................. + 2¹¹⁸.(1 + 2 + 4)

A = 2.7 + 2⁴ . 7 + ................ + 2¹¹⁸.7

A = 7.(2 + 2⁴ + ........... + 2¹¹⁸)

Chứng minh chia hết cho 31

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰ 

A = (2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰) + ................ + (2¹¹⁶ + 2¹¹⁷ + 2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 2⁶.(1 + 2 +4 + 8 + 16) + ............. + 2¹¹⁶.(1 + 2 + 4 + 8 + 16)

A = 2.31 + 2⁶.31 + ....... + 2¹¹⁶ . 31

A = 31.(2 + 2⁶ + ........... + 2¹¹⁶)

Bạn gõ latex ra để người khác dễ giúp bạn nhé.

A= 1+2+3+...+1995

  =1995+(1+1994)+(2+1993)+...+(996+999)+(997+998)

  =1995+1995+1995+...+1995+1995

  =1995x998\(⋮1995\)