a)

Đặt $A=P(0),\ B=P\left(\dfrac12\right),\ C=P(1)$.

Ta có $A=c,\quad B=\dfrac a4+\dfrac b2+c,\quad C=a+b+c$ và $2a+3b+6c=0$

$\Leftrightarrow 4B+C+A=0$

$\Leftrightarrow C=-A-4B$

Lại có $a+b=C-A,\quad a+2b=4(B-A)$

$\Rightarrow b=4B-C-3A,\quad a=2C+2A-4B,\quad c=A$

Hay $\boxed{\begin{aligned} a&=2P(1)+2P(0)-4P\!\left(\dfrac12\right),\\ b&=4P\!\left(\dfrac12\right)-P(1)-3P(0),\\ c&=P(0).\end{aligned}}$

b)

Từ điều kiện $2a+3b+6c=0$ suy ra $P(0)+4P\left(\dfrac12\right)+P(1)=0$

Nếu $P(0),\ P\left(\dfrac12\right),\ P(1)$ cùng dương thì

$P(0)+4P\left(\dfrac12\right)+P(1)>0$ (vô lý).

Nếu $P(0),\ P\left(\dfrac12\right),\ P(1)$ cùng âm thì

$P(0)+4P\left(\dfrac12\right)+P(1)<0$ (vô lý).

Vậy $P(0),\ P\left(\dfrac12\right),\ P(1)\$ không thể cùng dương hoặc cùng âm

Sửa đề: 5a+b+2c=0. Chứng minh P(-1)*P(2)<=0

\(P\left(-1\right)=a\cdot\left(-1\right)^2+b\cdot\left(-1\right)+c\)

=a-b+c

=-(5a+b+2c)+6a+3c=6a+3c

P(2)=\(a\cdot2^2+b\cdot2+c\)

=4a+2b+c

=2(5a+b+2c)-6a-3c=-6a-3c=-(6a+3c)

\(P\left(-1\right)\cdot P\left(2\right)=\left(6a+3c\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(6a+3c\right)=-\left(6a+3c\right)^2\le0\forall a,c\)

=>ĐPCM

Ta có: f(0) = a.0 + b.0 + c = 0 + c = c

Mà f(0) là số nguyên nên c là số nguyên  (1)

         f(1) = a.1^2 + b.1 + c = a + b + c

Vì c là số nguyên nên a + b là số nguyên  (2)

        f(-1) = a.(-1)^2 + b.(-1) + c = a - b + c

Vì c là số nguyên nên a - b là số nguyên  (3)

Mà tổng hai số nguyên là 1 số nguyên nên (a+b) + (a-b) cũng là số nguyên

hay 2a là số nguyên (4)

Từ (1), (2) và (4) ta suy ra: 2a, a+b, c đều là số nguyên