1: \(BE^2+CF^2+3AH^2\)

\(=BH^2-HE^2+CH^2-HF^2+3AH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2AH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2\cdot BH\cdot CH\)

\(=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)

2: \(BC\cdot BE\cdot CF=BC\cdot\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{AC}=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\cdot AH^4\)

\(=AH^4\cdot\dfrac{BC}{AH\cdot BC}=AH^3\left(1\right)\)

\(BC\cdot HE\cdot HF=BC\cdot\dfrac{HA\cdot HB}{AB}\cdot\dfrac{HA\cdot HC}{AC}\)

\(=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\cdot HA^2\cdot HB\cdot HC\)

\(=\dfrac{BC}{AH\cdot BC}\cdot HA^2\cdot HA^2=\dfrac{HA^4}{AH}=AH^3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH^3=BC\cdot BE\cdot CF=BC\cdot HE\cdot HF\)

ho tam giác vg ác vg tạo a (ab<ac) ,đường cao ah. Trên bc lấy m sao cho ba=bm. Từ m kẻ mn vg góc với ac (n thuộc ac). Cmr

a. Tam giác ANH cân

b. BC +AH >AB+AC

c. 2ac^2 - bc^2= ch^2- bh^2

o l m . v n

a:

Sửa đề: Hai tam giác vuông cân tại A là ΔABD và ΔACE

ΔABD vuông cân tại A

=>AB=AD và \(\hat{ABD}=\hat{ADB}=45^0;\hat{BAD}=90^0\)

ΔAEC vuông cân tại A

=>AE=AC và \(\hat{ACE}=\hat{AEC}=45^0;\hat{CAE}=90^0\)

\(\hat{EAB}=\hat{EAC}+\hat{BAC}=90^0+90^0=180^0\)

=>E,A,B thẳng hàng

\(\hat{DAC}=\hat{DAB}+\hat{BAC}=90^0+90^0=180^0\)

=>D,A,C thẳng hàng

Xét ΔABC vuông tại A và ΔADE vuông tại A có

AB=AD

AC=AE

Do đó: ΔABC=ΔADE
=>BC=DE

b: Ta có: \(\hat{ACE}=\hat{ADB}\left(=45^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên CE//BD

Hình bạn tự vẽ nhé

a) Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta AHB\)vuông tại H ta được:

\(AB^2=BH^2+AH^2\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2\)(1)

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta HAC\)vuông tại H ta được:

\(AC^2=AH^2+CH^2\Rightarrow AH^2=AC^2-CH^2\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AC^2-CH^2=AB^2-BH^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\)(ĐCCM)

b) Áp dụng định lý Pytago vào\(\Delta ABC\) vuông tại A ta được:

\(BC^2=AC^2+AB^2\)\(=\left(AH^2+CH^2\right)+\left(AH^2+BH^2\right)=2AH^2+CH^2+BH^2\)(ĐCCM)