Vì p lak số nguyên tố và p> 3 nên p sẽ có dạng 3k+1 và 3k+2

TH1: Nếu p=3k+1 thì p+1 = p+ 2= 3k+1+2=3k+3 chai hêt cho 3

.........................................................................→ là hợp số ( loai)

Th2: Nếu p=3k+2 thì P+1 = 3k+2+1= 3k + 3 chia hết cho 3 ⁽¹⁾

Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p là số lẻ

→ p+1 là số chẵn → p+1 chia hết cho 2 ⁽²⁾

Mà (2;3)=1 nên p+1 chia hết cho ( 2.3) hay p+1 chia hết cho6

Số nguyên tố lớn hơn 3 sẽ có dạng 3k+1 hay 3k+2 ( k ϵ N)

Nếu p = 3k+1 thì p+2= 3k+1+2= 3k+3= 3.(k+1) là số nguyên tố. Vì 3.(k+1) chia hết cho 3 nên dạng p = 3k+1 không thoả mãn.

Vậy p có dạng p = 3k+2 ( Vì p+2= 3k+2+2= 3k+4 là một số nguyên tố)

Suy ra p+1= 3k+2+1= 3k+3= 3.(k+1) chia hết cho 3

Mặt khác, do p là số nguyên tố lớn hơn 3 cũng như lớn hơn 2 nên p là số nguyên tố lẻ suy ra p+1 là số chẵn suy ra p+1 là số chia hết cho 2

Vì p chia hết cho 2 và 3 mà UWCLN(2;3)=1 nên p+1 chia hết cho 6

Mong bạn tick cho mk nha!

Lời giải:

$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ lẻ

$\Rightarrow p+1$ chẵn $\Rightarrow p+1\vdots 2(1)$

Mặt khác:

$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái đề bài) 

$\Rightarrow p=3k+2$
Khi đó:

$p+1=3k+3\vdots 3(2)$
Từ $(1); (2)$, mà $(2,3)=1$ nên $p+1\vdots (2.3)$ hay $p+1\vdots 6$

Bài 1: 5 vì 2+3=5 và 7-2=5

Câu 4:

A = 3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^99

3A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^100

3A - A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^100 - (3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^99)

2A = 3^1+ 3^2 + 3^3 + ... + 3^100 - 3^0 - 3^1 - 3^2 -..- 3^99

2A = (3^1 - 3^1) + (3^2 - 3^2) + ..+(3^99-3^99) + (3^100 - 3^0)

2A = 0 + 0 + .. + 0 + 3^100 - 3^0

2A = 0 + 3^100 - 3^0

2A = 3^100 - 3^0

2A + 1 = 3^100 - 3^0 + 1

2A + 1 = 3^100 - (1 - 1)

2A + 1 = 3^100 - 0

2A + 1 = 3^100 - 0

2A + 1 = 3^100

Câu 5:

a chia hết cho 8 thì không thể dư 7

Vậy không có số nào thỏa mãn đề bài.

đề bài sai nhé theo đl fermat thì a^(p-1) đồng dư 1 mod p

Câu a:

Gọi ƯCLN(9n + 7; 4n + 3) = d, khi đó:

(9n + 7) ⋮ d và (4n + 3) ⋮ d

[36n + 28] ⋮ d và [26n + 27] ⋮ d

[36n + 28 - 36n- 27] ⋮ d

[(36n - 36n) + (28 - 27)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

d = 1

Vậy 9n + 7 và 4n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

b, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n^2+n+2016 không chia hết cho 5.

Giải:

Giả sử biểu thức đã cho chia hết cho 5 với mọi n ∈ N khi đó:

Với n = 0 thì:

n^2 + n + 2016 = 0 + 0+ 2016 = 2016 chia hết cho 5 vô lí

Vậy điều giả sử là sai hay n^2+n+2016 không chia hết cho 5.

Các số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì dư 11; 7; 5 hoặc 1; mà 5 + 7 = 1 + 11 = 12 chia hết cho 12 nên nếu chia 4 số dư này thành 2 nhóm là (5; 7) và (1; 11) thì với ba số bất kì đang có khi chia cho 12 sẽ có số dư thuộc 1 trong 2 nhóm trên. (nguyên lí Dirichlet)

k nếu đúng nhé!

Các số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì dư 11; 7; 5 hoặc 1; mà 5 + 7 = 1 + 11 = 12 chia hết cho 12 nên nếu chia 4 số dư này thành 2 nhóm là (5; 7) và (1; 11) thì với ba số bất kì đang có khi chia cho 12 sẽ có số dư thuộc 1 trong 2 nhóm trên. (nguyên lí Dirichlet)

\(p^2-1=\left(p+1\right)\left(p-1\right)\)

trước hết p là số lẻ nêm p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 2*4=8

mặt khác p>3 nên p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3

(3;8)=1 nên suy ra đpcm

vì p>3 nên p có dạng p=3k+1 hoặc p=3k+2 
với p=3k+1 thì p^2-1=(p+1)(p-1)=(3k+2)3k chia hết cho 3 
với p=3k+2 thì p^2-1=(p+1)(p-1)=(3k+3)(3k+1) chia hết cho 3 
vậy với mọi số nguyên tố p>3 thì p^2-1 chia hết cho 3 (1) 
mặt khác cũng vì p>3 nên p là số lẻ =>p+1,p-1 là 2 số chẵn liên tiếp 
=>trong hai sô p+1,p-1 tồn tại một số là bội của 4 
=>p^2-1 chia hết cho 8 (2) 
từ (1) và (2) => p^2-1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố p>3