Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc HIB=1/2*sđ cung HB=90 độ
=>HI vuông góc AB
góc CKH=1/2*sđ cung CH=90 độ
=>HK vuông góc AC
góc AIH=góc AKH=góc KAI=90 độ
=>AIHK là hình chữ nhật
=>góc AIK=góc AHK=góc C
=>góc KIB+góc KCB=180 độ
=>KIBC nội tiếp
b: góc O1IK=góc O1IH+góc KIH
=góc O1HI+góc KAH
=góc HAC+góc HCA=90 độ
=>IK làtiếp tuyến của (O1)
góc O2KI=góc O2KH+góc IKH
=góc O2HK+góc IAH
=góc HAB+góc HBA=90 độ
=>IK là tiếp tuyến của (O2)
a: Xét \(\left(O_1\right)\) có
ΔAPH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAPH vuông tại P
=>HP⊥AM tại P
Xét \(\left(O_2\right)\) có
ΔHQB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHQB vuông tại Q
=>HQ⊥MB tại Q
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
=>\(\hat{AMB}=90^0\)
xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)
nên MPHQ là hình chữ nhật
b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao
nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)
Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao
nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)
=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)
Xét ΔMPQ vuông tại M và ΔMBA vuông tại M có
\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)
Do đó: ΔMPQ~ΔMBA
c: ΔMPQ~ΔMBA
=>\(\hat{MPQ}=\hat{MBA};\hat{MQP}=\hat{MAB}\)
\(\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}=\hat{AHP}+\hat{HPQ}\)
\(=\hat{AHP}+\hat{HMB}=\hat{MBA}+\hat{HMB}=90^0\)
=>\(PO_1\) ⊥PQ
=>PQ là tiếp tuyến tại P của \(\left(O_1\right)\)
\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{O_2QH}\)
\(=\hat{PMH}+\hat{BHQ}=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)
=>\(QO_2\) ⊥QP tại Q
=>QP là tiếp tuyến tại Q của \(\left(O_2\right)\)
Bạn tự vẽ hình
1. Gọi \(K\) là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Xét hai tam giác \(\Delta KOD\) và \(\Delta OCH\) có \(OK=CO=R\), \(\angle KOD=\angle OCH\) (so le trong) và \(OD=CH\) (giả thiết). Suy ra hai tam giác \(\Delta KOD\) và \(\Delta OCH\)
bằng nhau (c.g.c). Do đó \(\angle KDO=90^{\circ}\to D\) nằm trên đường tròn đường kính OK.
Khi C trùng A thì D trùng với O và khi C trùng với B thì D trùng với O. Do đó tập hợp D sẽ là toàn bộ đường tròn đường kính OK.
2. Kéo dài tia DC cắt (O) ở điểm thứ hai T. Do tứ giác ACTB nội tiếp nên góc TBA = góc DCA = 60 độ. Vậy T là điểm cố định. Do tam giác ACD đều và M là trung điểm CD nên AM vuông góc với CD. Suy ra M nhìn đoạn AT dưới 1 góc vuông. Vậy M nằm trên đường tròn đường kính AT.
Vì C chỉ chạy trên nửa đường tròn, khi C trùng A thì M trùng A và khi C trùng với B thì M trùng với T. Vậy M chạy trên nửa đường tròn đường kính AT, trong nửa mặt phẳng không chứa điểm B.
Chỉ vậy thôi.
Giải thích các bước giải:
a.Ta có AB,ACAB,AC là đường kính của các đường tròn
→AM⊥BM,AN⊥CN→AM⊥BM,AN⊥CN
→ˆPMA=ˆANP=90o→PMA^=ANP^=90o
→AMNP→AMNP nội tiếp đường tròn đường kính APAP
→ˆAPB=ˆAPM=ˆANM=ˆANH=90o−ˆNAH=90o−ˆNAC=ˆACN=ˆACP→APB^=APM^=ANM^=ANH^=90o−NAH^=90o−NAC^=ACN^=ACP^
Lại có ˆPAB=ˆPACPAB^=PAC^
→ΔAPB∼ΔACP(g.g)→ΔAPB∼ΔACP(g.g)
→APAC=BAAP→APAC=BAAP
→AP2=AB.AC
1: Xét (I) có
ΔAMC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔAMC vuông tại M
=>CM⊥DA tại M
Xét (J) có
ΔCNB nội tiếp
CB là đường kính
Do đó: ΔCNB vuông tại N
=>CN⊥DB tại N
Xét (O) có
ΔDAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔDAB vuông tại D
=>\(\hat{ADB}=90^0\)
Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)
nên DMCN là hình chữ nhật
2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao
nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)
Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao
nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)
=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)
Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có
\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)
Do đó: ΔDMN~ΔDBA
=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)
mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)
=>AMNB là tứ giác nội tiếp
c: ΔDNM~ΔDAB
=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)
Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)
=>OD⊥ Dx tại D
Xét (O) có
\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB
\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB
Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)
=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Dx//MN
=>MN⊥OD
a, MPHQ là hình chữ nhật => MH = PQ
b, Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh được MP.MA = MQ.MB => ∆MPQ: ∆MBA
c, P M H ^ = M B H ^ => P Q H ^ = O 2 Q B ^ => PQ là tiếp tuyến của O 2
Tương tự PQ cũng là tiếp tuyến ( O 1 )
Kẻ OH⊥CD tại H và CO cắt BD tại K
Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBK vuông tại B có
OA=OB
\(\hat{AOC}=\hat{BOK}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAC=ΔOBK
=>AC=BK và \(\hat{OCA}=\hat{OKB}\) ; OC=OK
Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOK vuông tại O có
DO chung
OC=OK
Do đó: ΔDOC=ΔDOK
=>DC=DK
=>DC=DB+BK=DB+AC
ΔDOC=ΔDOK
=>\(\hat{OCD}=\hat{OKD}\)
=>\(\hat{OCD}=\hat{OCA}\)
=>CO là phân giác của góc ACD
Xét ΔCAO vuông tại A và ΔCHO vuông tại H có
CO chung
\(\hat{ACO}=\hat{HCO}\)
Do đó: ΔCAO=ΔCHO
=>OA=OH
=>H nằm trên (O;R)
Xét (O;R) có
OH là bán kính
CD⊥OH tại H
Do đó: CD là tiếp tuyến tại H của (O)
Xét ΔODK vuông tại O có OB là đường cao
nên \(BD\cdot BK=OB^2\)
=>\(BD\cdot AC=OB^2=\left(\frac12AB\right)^2=\frac14AB^2\)
