Bài 5.

1. Chứng minh

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

Ta có:

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$

$=\dfrac{2b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{a^2-ab+2b^2}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{(a-b)^2+b^2}{ab(a+b)}\ge0$

Vậy: $\boxed{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}}$

2. Chứng minh

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}$

Vì $a,b,c>0$ nên:

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c>\dfrac1a$

Mà: $\dfrac1a>\dfrac{a}{a+b+c}$

Suy ra: $\boxed{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}}$

1.

$a^3+b^4-ab(a+b)$

$=a^3+b^4-a^2b-ab^2$

$=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

$=(a-b)(a^2-b^2)$

$=(a-b)^2(a+b)\ge0$

Suy ra: $\boxed{a^3+b^4\ge ab(a+b)}$

2.

$a^4+b^4-ab(a^2+b^2)$

$=a^4+b^4-a^3b-ab^3$

$=a^3(a-b)+b^3(b-a)$

$=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^4+b^4\ge ab(a^2+b^2)}$

3.

$a^5+b^5-ab(a^3+b^3)$

$=a^5+b^5-a^4b-ab^4$

$=a^4(a-b)+b^4(b-a)$

$=(a-b)(a^4-b^4)$

$=(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^5+b^5\ge ab(a^3+b^3)}$

Lời giải:
Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)

\(=27-3(3-a)(3-b)(3-c)\)

\(=27-3[27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ac)-abc]\)

\(=27-3[3(ab+bc+ac)-abc]=27-9(ab+bc+ac)+3abc\)

Do đó:

\(A=a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc=27-9(ab+bc+ac)+\frac{27}{4}abc(*)\)

Áp dụng BĐT Schur :

\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)

\(\Leftrightarrow abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)\)

\(\Leftrightarrow abc\geq 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ac)-8abc\)

\(\Leftrightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27\)

\(\Leftrightarrow 3abc\geq 4(ab+bc+ac)-9\)

\(\Rightarrow \frac{27}{4}abc\geq 9(ab+bc+ac)-\frac{81}{4}(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow A\geq 27-\frac{81}{4}=\frac{27}{4}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Ta có:

a³+b³+

Lời giải:

Ta có:

\(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Xét \(a^4+b^4-(ab^3+a^3b)=(a-b)(a^3-b^3)\)

\(=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\forall a,b> 0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\geq ab^3+a^3b\)

\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a^3+b^3)(a+b)\)

\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^3+b^3)(a+b)}{2ab(a^3+b^3)}=\frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Chuyển vế : 
a^4 - a^3 + b^4 - b^3 + c^4 - c^3 >= 0 
<=> a^3(a - 1) + b^3(b - 1) + c^3(c - 1) - (a - 1) - (b - 1) - (c - 1) >= 0 (a + b + c = 3) 
<=> (a - 1)(a^3 - 1) + (b - 1)(b^3 - 1) + (c - 1)(c^3 - 1) >= 0 
<=> (a - 1)^2(a^2 + a + 1) + (b - 1)^2(b^2 + b + 1) + (c -1)^2(c^2 + c + 1) >= 0 (*) 
Dễ chứng minh được a^2 + a + 1 > 0 
=> (*) đúng 
=> ĐPCM

Bạn tham khảo lời giải bài 4 link sau:

Câu hỏi của Bonking - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Bài giải rất hay, mình cảm ơn bạn nhiều