A=[(3²-1)/3²].[(4²-1)/4²].[(5²-1)/5²] …[(50²-1)/50²] 
=(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)(5-1)(5+1)…(50-1)(... /(3².4².5²…50²) 
= (3-1).(4-1).(5-1) … (50-1) .(3+1).(4+1).(5+1) … (50+1) (3².4².5²…50²) 
= 2.3.4 …49 . 4.5.6…51 /(3².4².5²…50²) 
=2.3. (4.5…49 . 4.5 … 49) . 50. 51 /(3².4².5²…50²) 
= 2.3.50.51(4².5²…49²)/(3².4².5²…50²) 
=2.3.50.51/(3².50²) 
=2.51/(3.50)=102/150=17/25 

2/Cho dãy số: 1(1/3); 1(1/8); 1(1/15); 1(1/24); 1(1/35); ... 
Có lẽ viết 1(1/3) là hỗn số tương đương với 4/3. 
a) Số hạng tổng quát : 1[1/[(n+1)²-1)] = (n+1)²/[(n+1)²-1]=(n+1)²/[n(n+1)] 
b) 
(đây là nghịch đảo của bài 1. Mẫu số phân tích tương tự tử số ở bài 1) 
Tích của 98 số hạng đầu là: 
P=[2²/(2²-1)].[3²/(3²-1)][4²/(4²-1)] …[99²/(99²-1)] 
= (2².3².4²…99²) /[(2²-1).(3²-1)… (99²-1)] 
= (2².3².4²…99²) /[(2-1).(3-1)… (99-1) . (2+1).(3+1)… (99+1)] 
= (2².3².4²…99²) /[1.2.3… 98 . 3.4… 98.99.100] 
= (2².3².4²…99²) /[1.2.(3… 98 . 3.4… 98).99.100] 
= (2².3².4²…99²) /[1.2.(3… 98 . 3.4… 98).99.100] 
= (2².3².4²…99²) /[1.2.(3… 98 . 3.4… 98).99.100] 
= (2².99²) /[1.2.99.100] 
=(2.99)/(1.100) 
=99/50 

3) 
C= (1/2).(3/4).(5/6).....(199/200). 
C= (1.3.5….199)/(2.4.6…200) 

C²= 1².3².5²….199²/(2².4².6²…200²) 
Ta có: k²>k²-1=(k-1)(k+1) nên 2²>1.3; 4²>3.5 … 200²>199.201. 
=> 
C² < 1².3².5²….199²/[(1.3).(3.5).(5.7)…(199.2... 
=1².3².5²….199²/(1.3.3.5.5.7…199.201) 
=1².3².5²….199²/(1.3².5².7²…199².201) 
=1/201 

4) 
(cũng tương tự như bài 3) 
D= (1/2).(3/4).(5/6)…(99/100) 
D=(1.3.5..99)/(2.4.6…100) 
D²=(1².3².5²..99²)/(2².4².6²…100²) 

Làm nhỏ bớt mẫu số bởi: (k-1)(k+1)<k² 
D²=[(1².3².5²… 99²)]/(2².4².6²…100²) 
< 1².3².5²…99²/(1.3.3.5.5.7…99.01) 
=1².3².5²…99²/(1.3².5².7²…99².101) 
=1/101<1/100=1/10² 
=>D<1/10 

D²=(1².3².5²…99²)/(2².4².6²…100²) 
Giảm tử số bởi k²>(k-1)(k+1) 
D²=(1².3².5²..99²)/(2².4².6²…100²) 
>1².(2.4)(4.6)…(98.100) /(2².4².6²…100²) 
=2.4.4.6.6.8….96.98.98.100/(2².4².6²…10... 
=2.4².6²…98².100/(2².4².6²…100²) 
=2.100/(2².100²) 
=1/200 > 1/225=1/15² 

=>D>1/15

C= (1.3.5.....199)/(2.4.6.....200)

=> C^2= (1^2. 3^2. 5^2......199^2)/(2^2. 4^2. 6^2......200^2)

Ta có k^2 > k^-1 = (k-1)(k+1) nên 2^2 > 1.3

                                                 4^2 > 3.5 

                                                 ....

                                                 200^2 > 199.201

=> C^2 < (1^2.3^2.5^2.....199^2) / (1.3)(3.5)(5.7).....(199.201)

ta có:  (1^2.3^2.5^2.....199^2) / (1.3)(3.5)(5.7).....(199.201) 

=1/201

Do đó C^2 <1/201

Vậy C^2 < 1/201

 Ta có : ^{\(C=\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times.....\times\frac{199}{200}\)}

      \(\Rightarrow C< \frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times.......\times\frac{200}{201}\)

      \(\Rightarrow C^2< \frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times......\times\frac{200}{201}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times.....\times\frac{199}{200}\)

     \(\Rightarrow C^2< \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times........\times\frac{199}{200}\times\frac{200}{201}\)

     \(\Rightarrow C^2< \frac{1}{201}\left(đ.p.c.m\right)\)

2A hay A^2?

1. So sánh từng thừa số:
   Ta có nhận xét: Với mọi số nguyên dương \(n\), luôn có \(\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}\).
   Áp dụng vào biểu thức \(A\) và \(B\):
   Suy ra: \(A < B\)
2. • \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
   • \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
   • ...
   • \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
3. Tính tích \(A \cdot B\):
   \(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)\)
   Khi nhân lại, các số ở tử và mẫu sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
   \(A\cdot B=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots 199\cdot 200}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots 200\cdot 201}=\frac{1}{201}\)
4. Chứng minh \(A^2 < \frac{1}{101}\):
   Vì \(A > 0\) và \(A < B\), nên:
   \(A\cdot A<A\cdot B\)
   \(A^{2}<\frac{1}{201}\)Mà \(\frac{1}{201} < \frac{1}{101}\), nên ta có:
   \(A^{2}<\frac{1}{101}\text{\ (Điu\ phi\ chng\ minh)}\)

Ta có \(k^2>k^2-1=\left(k+1\right)\left(k-1\right)\)

Áp dung vào bài toán ta được

\(A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{199}{200}=\frac{1.3...199}{2.4...200}\)

\(\Rightarrow A^2=\frac{1^2.3^2...199^2}{2^2.4^2...200^2}< \frac{1^2.3^2...199^2}{1.3.3.5...199.201}=\frac{1^2.3^2...199^2}{1.3^2.5^2...199^2.201}=\frac{1}{201}\)

Vậy \(A^2< \frac{1}{201}\)

A²<\(\frac{1}{201}\)