Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn  $[f\text{'}(x){]}^2+f(x)f\text{'}\text{'}(x)\ge 1,\forall x\in [0;1]$ và $f^2\left(0\right)+f\left(0\right).f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{3}{2}$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân  ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số y=f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;3]  thoả mãn f(0)=3, f(3)=8 và ${\int }_0^3\frac{(f\text{'}{\left(x\right))}^2}{f\left(x\right)+1}dx=\frac{4}{3}$  Giá trị của f(2) bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn f(0)=0 và  $\left|f\right(x)-f(y\left)\right|\le |\sin x-\sin y|$ với mọi $x,y\in R$. Giá trị lớn nhất của tích phân  ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\right(f\left(x\right){)}^2-f\left(x\right))dx$ bằng

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=ax+\frac{b}{x^2},f\left(x\right)=\frac{a{x}^2}{2}-\frac{b}{x}+c$ và $f\left(-1\right)=2, f\left(1\right)=4, f^{\text{'}}\left(1\right)=0$. Tính giá trị của T =abc