a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=4^2+5^2=41\)

=>\(BC=\sqrt{41}\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{4\cdot5}{\sqrt{41}}=\frac{20}{\sqrt{41}}\) (cm)

b: Xét ΔABC vuông tại A có

tan B=AC/AB=5/4

sin C=\(\frac{AB}{BC}=\frac{4}{\sqrt{41}}\)

c: Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

Câu a mình làm chứng minh tương tự nên hơi tắt đó nha, thật ra làm vẫn Ok nhưng mà đi thi học kì hay cấp 3 thì phải chứng minh hẳn 2 cái ra đó nhé

a) Xét tam giác ABH vuông tại H có HD là đường cao

=> AD.AB = AH² ( Hệ thức lượng) (1)

Xét tam giác ACH vuông tại H có HE là đường cao

=> AE.AC = AH² ( Hệ thức lượng) (2)

(1)(2) => AD.AB = AE.AC

b) Có AD.AB = AE.AC

=> \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) có: 

+ \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

+ Chung góc A

=> \(\Delta ADE\) \(\sim\) \(\Delta ACB\)  (c-g-c)

=> \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\) (2 góc tương ứng)

a; Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHB

=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔADH vuông tại D và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{DAH}\) chung

Do đó: ΔADH~ΔAHC

=>\(\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)

=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\)

Xét ΔAED vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\)

Do đó: ΔAED~ΔACB

b: Xét tứ giác AEHD có \(\hat{AEH}=\hat{ADH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên AEHD là hình chữ nhật

=>DE=AH

=>DE=8(cm)

ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot8\cdot20=80\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

ΔAED~ΔACB

=>\(\frac{S_{AED}}{S_{ACB}}=\left(\frac{DE}{CB}\right)^2=\left(\frac{8}{20}\right)^2=\left(\frac25\right)^2=\frac{4}{25}\)

=>\(S_{AED}=80\cdot\frac{4}{25}=\frac{320}{25}=12,8\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

b: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{ADE}=\hat{AHE}\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)

nên \(\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{ACB}=\hat{BHD}\) (hai góc đồng vị, DH//AC)

nên \(\hat{ADE}=\hat{BHD}\)

a) Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}\) và \(\widehat{AEH}\) là hai góc đối

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ADHE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)(đpcm)