\(Q\left(0\right)=c⋮2014⋮1007\)

\(Q\left(1\right)=\left(a+b+c\right)⋮2014\Rightarrow\left(a+b\right)⋮2014\Rightarrow\left(2a+2b\right)⋮2014\)

\(Q\left(2\right)=\left(4a+2b+c\right)⋮2014\Rightarrow\left(4a+2b\right)⋮2014\)

\(\Rightarrow\left(4a+2b-2a-2b\right)⋮2014\)

\(\Rightarrow2a⋮2014\Rightarrow a⋮1007\Rightarrow b⋮1007\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Bài 2: 

\(Ax^2+Bx+C=8x^4y^3-2x^4y^3-6x^4y^3=0\)

f(2)=156

=>\(a\cdot2^2+b\cdot2+c=156\)

=>4a+2b+c=156

f(-3)=156

=>\(a\cdot\left(-3\right)^2+b\cdot\left(-3\right)+c=156\)

=>9a-3b+c=156

f(-1)=132

=>\(a\cdot\left(-1\right)^2+b\cdot\left(-1\right)+c=132\)

=>a-b+c=132

9a-3b+c=156

4a+2b+c=156

Do đó: 9a-3b+c-4a-2b-c=156-156

=>5a-5b=0

=>a=b

9a-3b+c=156

a-b+c=132

Do đó: 9a-3b+c-a+b-c=156-132

=>8a-2b=24

=>8a-2a=24

=>6a=24

=>a=4

=>b=a=4

a-b+c=132

=>4-4+c=132

=>c=132

\(f\left(x\right)=4x^2+4x+132\)

\(=4x^2+4x+1+131=\left(2x+1\right)^2+131\ge131>0\forall x\)

=>f(x) vô nghiệm

Từ giả thiết ta có c = f(0) \(\in\)Z ,còn a, b không nhất thiết phải nguyên ,chẳng hạn với a = b = \(\frac{1}{2},c\inℤ\)

\(f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+c=\frac{x\left(x+1\right)}{2}+c\inℤ\)

với mọi \(x\inℤ\)

Ta có: f(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c

        f(-1) = a.(-1)² + b.(-1) + c = a - b + c

=> f(1) = f(-1) => a + b + c = a - b  + c

        => a + b = a - b => a + b - a + b = 0

                           => 2b = 0 => b = 0

Khi đó, ta có: f(-x) = a.(-x)² + b.(-x) + c = ax² - 0 . x + c = ax² + c

       f(x) = ax² + bx + c = ax² + 0.x + c = ax² + c

=> f(-x) = f(x)

Ta có: f(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c

          f(-1) = a.(-1)² + b.(-1) + c = a - b + c

          f(1) = f(-1) <=> a + b + c = a - b + c <=> b = -b <=> b = 0

=> f(x) = ax² + c luôn thỏa mãn điều kiện f(-x) = f(x) với mọi x

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d⋮5\forall x\in Z\)

+ Với x=0 ta có \(f\left(0\right)=d⋮5\left(1\right)\)

+ Với x=1 ta có \(f\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\left(2\right)\)

+ Với x=-1 ta có \(f\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\left(3\right)\)

+ Với x=2 ta có \(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\left(4\right)\)

+ Với x=-2 ta có\(f\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d⋮5\left(5\right)\)

Từ (1),(2),(3),(4) và (5) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮5\\-a+b-c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow2b⋮5\)

\(\Rightarrow b⋮5\) (vì 2 và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau) \(\left(6\right)\)

Từ (1),(2),(4) và (6) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\a+c⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8\left(a+c\right)⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8a+8c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(8a+2c\right)-\left(8a+8c\right)⋮5\Rightarrow6c⋮5\)

\(\Rightarrow c⋮5\) (vì ƯCLN(6,5)=1)

\(\Rightarrow a⋮5\) (vì \(a+c⋮5\) )

Vậy \(a,b,c,d⋮5\)