\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)

Ta có:

\(\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)

Ta có $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

$=a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+4(a^2+b^2+c^2)+8

Suy ra $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-18-3(a^2+b^2+c^2)$

$=a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+(a^2+b^2+c^2)-10$

Đặt $s=a^2+b^2+c^2$

Ta có $s\ge ab+bc+ca=3$ và $\sum a^2b^2\ge ab+bc+ca=3$

(vì $ab+bc+ca=3$ và $\sum a^2b^2\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}$).

Do đó $a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+s-10$$\ge 0+2\cdot3+3-10$$=-1$

Mặt khác $\sum a^2b^2\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}=3$ nên $a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+s-10$

$\ge a^2b^2c^2+s-4$

Lại có $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)$

$\Rightarrow a+b+c\le \dfrac3{abc}$ và $s=(a+b+c)^2-6\ge \dfrac9{a^2b^2c^2}-6$

Đặt $t=abc$.

Khi đó $a^2b^2c^2+s-4\ge t^2+\dfrac9{t^2}-10$

$=\left(t-\dfrac3t\right)^2-4\ge0$

(vì từ $ab+bc+ca=3$ suy ra $t\le1$).

Vậy $\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-18\ge 3(a^2+b^2+c^2)}.$

Dấu bằng khi $\boxed{a=b=c=1.}$

`1)(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)`

`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3a^2+3b^2+3c^2`

`<=>2ab+2bc+2ca=2a^2+2b^2+2c^2`

`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0`

`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`

Mà `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`

Vậy dấu "=" xảy ra chỉ có thể là `a=b=c`

`2)(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`

`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca`

`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`

`<=>2ab+2bc+2ca=2a^2+2b^2+2c^2`

`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0`

`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`

Mà `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`

Vậy dấu "=" xảy ra chỉ có thể là `a=b=c`

Vậy nếu `a=b=c` thì ....