với n là stn, có

n^2 chia hết cho 6 <=> n^2 chia hết cho 2 và 3 ( vì (2;3)=1 )

n^2 chia hết cho 2 => n^2 chia hết cho 2^2  <=> n chia hết cho 2      (1)

n^2 chia hết cho 3 => n^2 chia hết cho 3^2  <=> n chia hết cho 3       (2)

Từ (1)(2)  kết hợp (2;3)=1 => n chia hết cho 6

Sửa đề: \(11\cdot5^{2n}+2^{3n+2}+2^{3n+1}\)

Ta có: \(11\cdot5^{2n}+2^{3n+2}+2^{3n+1}\)

\(=11\cdot25^n+8^n\cdot4+8^n\cdot2\)

\(=11\cdot25^n+6\cdot8^n\)

Vì \(25\equiv8\)(mod 17)

nên \(11\cdot25^n+6\cdot8^n\equiv11\cdot8^n+6\cdot8^n\equiv17\cdot8^n\equiv0\)(mod 17)

hay \(11\cdot5^{2n}+2^{3n+2}+2^{3n+1}⋮17\)(đpcm)

n³ + ( n + 1 )³ + ( n + 2 )³

= ( 3n + 1 + 2 )³

= ( 3n + 3 )³

= 27n + 9

= 36n chia hết cho 9

Vậy n³ + ( n + 1 )³ + ( n + 2 )³

n^3+(n+1)^3+(n+2)^3

=(n+n+1+n+2)^3

=(3n+3)^3

=27n+9 

Ma 36 chia het cho 9

=>dpcm

Ta có:3ⁿ⁺²+2ⁿ⁺³+3ⁿ+2ⁿ⁺¹

=3ⁿ.(3²+1)+2ⁿ.(2³+2)

=3ⁿ.10+2ⁿ.10

=(3ⁿ+2ⁿ).10 chia hết cho 10

Vậy...................

n = 0 => (1) = 9 .1 + 18 = 27 chia hết cho 27 
n = 1 => (1) = 9 .10 + 18 = 108 chia hết cho 27 
đặt k = n , ta giả sử 9.10^k + 18 chia hết cho 27 
ta chứng minh 9.10^(k + 1) +18 chia hết cho 27 
= 10.9.10^(k) +18 = 9.10^k + 18 + 9.9.10^k = { 9.10^k + 18 } + { 81.10^k } 
cả 2 nhóm đều chia hết cho 27 => đpcm