\(x^2-3y^2+2xy-2x+6y-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(x+3y-3\right)=1\)

Làm nôt

Viết pt trên thành pt bậc 2 đối với x:\(x^2+2x\left(y-1\right)-\left(3y^2-6y+4\right)=0\) (1)

Pt (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(y-1\right)^2+\left(3y^2-6y+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4y^2-8y+5\ge0\),Ta cần có \(\Delta'=k^2\)

Tức là \(4y^2-8y+5=k^2\Leftrightarrow4\left(y-1\right)^2+1=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-2\right)^2-k^2=-1\Leftrightarrow\left(2y-2-k\right)\left(2y-2+k\right)=-1\)

Đến đây bí!

<=>\(x^2+2x\left(y-1\right)-3y^2+6y-8=0\)

coi phương trình là phương trình bậc 2 theo ẩn x nên ta có

\(\Delta^'=\left(y-1\right)^2+3y^2-6y+8\)

\(\Delta^'=4y^2-8y+9=\left(2y-4\right)^2-7\)

để phương trình có nghiệm x ,y nguyên thì \(\Delta^'=k^2\)

với k là số tự nhiên

\(\left(2y-4\right)^2-7=k^2\Leftrightarrow\left(2y-4+k\right)\left(2y-4-k\right)=7\)

khi đó (2y-4+k) và (2y-4-k) là ước của 7 là (1,7) do đó ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}2y-4+k=7\\2y-4-k=1\end{cases}}\Leftrightarrow4y=16\Leftrightarrow y=4\)

với y=4 thay vào ta có 

\(\Delta^'=\left(2.4-4\right)^2-7=9\)

\(\orbr{\begin{cases}x=\left(1-y\right)-3=1-4-3=-6\\x=\left(1-y\right)+3=1-4+3=0\end{cases}}\)

vậy (x,y)= (0,4) hoặc (-6,4)

           \(x^2-2xy+2y^2-2x+6y+5=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x\left(y+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-y-1=0\\y+2=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\)

\(\frac{ }{ }\)

Ta có:

\(x^2-2xy+2y^2-2x+6y+5=\left(x^2-xy+y^2\right)+y^2-2\left(x-y\right)+4y+5\)

\(=\left[\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1\right]+\left(y^2+4y+4\right)\)

\(=\left(x-y-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=1\\y=-2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1=-1\\y=-2\end{cases}}}\)

\(x^2+3y^2+4xy=2x+6y+24\)

=>(x+3y)(x+y)-2(x+3y)=24

=>(x+3y)(x+y-2)=24

=>(x+3y;x+y-2)∈{(1;24);(24;1);(-1;-24);(-24;-1);(2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(3;8);(8;3);(-3;-8);(-8;-3);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

mà x+3y+x+y-2=2x+4y-2=2(x+2y-1)⋮2

nên (x+3y;x+y-2)∈{((2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

TH1: x+3y=2 và x+y-2=12

=>x+3y=2 và x+y=14

=>x+3y-x-y=2-14

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=14

=>x=14-y=14-(-6)=20

=>Nhận

TH2: x+3y=12 và x+y-2=2

=>x+3y=12 và x+y=4

=>x+3y-x-y=12-4

=>2y=8

=>y=4

x+y=4

=>x=4-4=0

=>Nhận

TH3: x+3y=-2 và x+y-2=-12

=>x+3y=-2 và x+y=-10

=>x+3y-x-y=-2+10

=>2y=8

=>y=4

x+y=-10

=>x+4=-10

=>x=-14

=>Nhận

TH4: x+3y=-12 và x+y-2=-2

=>x+3y=-12 và x+y=0

=>x+3y-x-y=-12-0

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=0

=>x=-y=-(-6)=6

TH5: x+3y=4 và x+y-2=6

=>x+3y=4 và x+y=8

=>x+3y-x-y=4-8

=>2y=-4

=>y=-2

x+y=8

=>x-2=8

=>x=10

=>Nhận

TH6: x+3y=6 và x+y-2=4

=>x+3y=6 và x+y=6

=>x+3y-x-y=6-6=0

=>2y=0

=>y=0

x+y=6

=>x=6-y=6-0=6

=>Nhận

TH7: x+3y=-4 và x+y-2=-6

=>x+3y=-4 và x+y=-4

=>x+3y-x-y=-4-(-4)

=>2y=0

=>y=0

x+y=-4

=>0+y=-4

=>y=-4

TH8: x+3y=-6 và x+y-2=-4

=>x+3y=-6 và x+y=-2

=>x+3y-x-y=-6-(-2)

=>2y=-6+2=-4

=>y=-2

x+y=-2

=>x-2=-2

=>x=0