\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)

=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

=>ab+bc+ac=0

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)

=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)

=>0=0(đúng)

Câu 41:

a: ĐKXĐ: \(x^2-3\ge0\)

=>\(x^2\ge3\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x\ge\sqrt3\\ x\le-\sqrt3\end{array}\right.\)

b: ĐKXĐ: \(x^2+4x-5>0\)

=>(x+5)(x-1)>0

=>x>1 hoặc x<-5

c: ĐKXĐ: \(\begin{cases}2x-1\ge0\\ x-\sqrt{2x-1}>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge\frac12\\ \frac{x^2-2x+1}{x+\sqrt{2x-1}}>0\end{cases}\Rightarrow x\ge\frac12\)

d: ĐKXĐ: \(\begin{cases}x^2-3\ge0\\ 1-\sqrt{x^2-3}<>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2\ge3\\ \sqrt{x^2-3}<>1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2\ge3\\ x^2-3<>1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2\ge3\\ x^2<>4\end{cases}\begin{array}{l}\\ \end{array}\)

=>\(\begin{cases}x\ge\sqrt3\\ x<>2\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x\le-\sqrt3\\ x<>-2\end{cases}\)

e: ĐKXĐ: \(\begin{cases}x<>0\\ x+\frac{2}{x}<>0\\ -2x\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<>0\\ x^2+2<>0\\ x\le0\end{cases}\)

=>x<0

f: ĐKXĐ: \(\begin{cases}3x-1\ge0\\ 5x-3\ge0\\ x^2+x+1\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3x\ge1\\ 5x\ge3\end{cases}\Rightarrow x\ge\frac35\)

Câu 32:

\(x^2-6x+17\)

\(=x^2-6x+9+8=\left(x-3\right)^2+8\ge8\forall x\)

=>\(A=\frac{1}{x^2-6x+17}\le\frac18\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0

=>x=3

Ta có:

0 < a < 1 ⇒ a - 1 < 0 ⇒ a(a - 1) < 0 ⇒ a2 - a < 0 (1)

Tương tự:

0 < b < 1 ⇒ b2 - b < 0 (2)

0 < c < 1 ⇒ c2 - c < 0 (3)

Cộng (1); (2); (3) vế theo vế ta được:

a2 + b2 + c2 - a - b - c < 0

⇔ a2 + b2 + c2 < a + b + c

⇔ a2+ b2 + c2 < 2 (do a + b + c = 2)

a)Ta có:

\(\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

Do \(\left(a-b\right)^2\ge0\),nên\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

b)Xét \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\)

Khai triển và rút gọn ta được:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vậy \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Cần gấp ko bạn

Nếu gấp thì sang web khác thử

Rất khủng khiếp (tại cái chương trình của em nó xấu:v) nhưng nó là một cách chứng minh:

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2\ge\frac{27\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)

Sau khi quy đồng, ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:

Hiển nhiên đúng vì \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)