Sửa đề: \(S=5+5^2+5^3+\cdots+5^{2019}\) Chứng minh 4S+5 là số chính phương

Ta có: \(S=5+5^2+5^3+\cdots+5^{2019}\)

=>\(5S=5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{2020}\)

=>5S-S=\(5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{2020}-5-5^2-5^3-\cdots-5^{2019}\)

=>4S=\(5^{2020}-5\)

=>4S+5=\(5^{2020}=\left(5^{1010}\right)^2\)

=>4S+5 là số chính phương

1/

Gọi d là ước của n+3 và 2n+5 nên

\(n+3⋮d\Rightarrow2n+6⋮d\)

\(2n+5⋮d\)

\(\Rightarrow2n+6-\left(2n+5\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> n+3 và 2n+5 nguyên tố cùng nhau

2/

\(5A=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{100}\)

\(4A=5A-A=5^{100}-1\Rightarrow4A+1=5^{100}=\left(5^{50}\right)^2\) LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

3/

Tích của 2 số chẵn liên tiếp là

\(2n.\left(2n+2\right)=4n^2+4n=4n\left(n+1\right)\)

Ta có 

\(n\left(n+1\right)\) Là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp và là số chẵn

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)=2k\)

\(\Rightarrow4n\left(n+1\right)=4.2k=8k⋮8\)

Đề bài thiếu yêu cầu cụ thể em nhé. em cập nhật lại câu hỏi để được sự hỗ trợ tốt nhất cho tài khoản olm vip

#@₫!%&@^@₫@₫=_++_×%@%@&@@@@=@

Ta có: \(S=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+9\cdot10\cdot11\)

\(=2\left(2-1\right)\left(2+1\right)+3\left(3-1\right)\left(3+1\right)+\cdots+10\left(10-1\right)\left(10+1\right)\)

\(=2\left(2^2-1\right)+3\left(3^2-1\right)+\cdots+10\left(10^2-1\right)\)

\(=\left(2^3+3^3+\cdots+10^3\right)-\left(2+3+\cdots+10\right)\)

\(=\left(1^3+2^3+\cdots+10^3\right)-\left(1+2+3+\cdots+10\right)\)

\(=\left(1+2+3+\cdots+10\right)^2-\left(1+2+3+\cdots+10\right)\)

\(=\left(10\cdot\frac{11}{2}\right)^2-10\cdot\frac{11}{2}=55^2-55\)

=>\(4S=4\cdot55^2-4\cdot55\)

=>4S+1=\(4\cdot55^2-4\cdot55+1=\left(2\cdot55\right)^2-2\cdot2\cdot55\cdot1+1^2=\left(2\cdot55-1\right)^2\)
=>4S+1 là số chính phương

0\(a.S=1-5+5^2-5^3+...+5^{98}-5^{99}\\ 5S=5-5^2+5^3-5^4+.....+5^{99}-5^{100}\\ 5S+S=\left(5-5^2+5^3-5^4+.....+5^{99}-5^{100}\right)+\left(1-5^{ }+5^2-5^3+.....+5^{98}-5^{99}\right)\\ 6S=1-5^{100}\\ S=\dfrac{1-5^{100}}{6}\\ \)

\(b,S6=1-5^{100}\\ 1-S6=5^{100}\) 

=> 5¹⁰⁰ chia 6 du 1

e đang cần gấp, có ai đến giúp e ko?

Ta có \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)

\(=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\dfrac{1}{4}\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Từ đó ta được \(S=\dfrac{1}{4}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4-\dfrac{1}{4}\cdot0\cdot1\cdot2\cdot3+...+\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12-\dfrac{1}{4}\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\\ \Leftrightarrow S=\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\\ \Leftrightarrow4S+1=9\cdot10\cdot11\cdot12+1=11881=109^2\left(đpcm\right)\)

\(A=5+5^2+5^3+...+5^{2021}\)

\(=5\left(1+5\right)+5^2\left(1+5\right)+...+5^{2020}\left(1+5\right)\)

\(=5.6+5^2.6+...+5^{2020}.6\)

\(=6\left(5+5^2+...+5^{2020}\right)\)

Vì \(6\left(5+5^2+...+5^{2020}\right)\) ⋮6

⇒A không là số chính phương

thanks

\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+9.10.11\)

\(4S=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+3.4.5.\left(6-2\right)+...+9.10.11.\left(12-8\right)\)

\(=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+9.10.11.12-8.9.10.11\)

\(=9.10.11.12\)

\(4S+1=9.10.11.12+1=\left(9.12\right).\left(10.11\right)+1=108.110+1\)

\(=\left(109-1\right)\left(109+1\right)+1=109^2-1+1=109^2\)

Ta có đpcm. 

Ta có \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)

\(=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\dfrac{1}{4}\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Từ đó ta được \(S=\dfrac{1}{4}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4-\dfrac{1}{4}\cdot0\cdot1\cdot2\cdot3+...+\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12-\dfrac{1}{4}\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\\ \Leftrightarrow S=\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\\ \Leftrightarrow4S+1=9\cdot10\cdot11\cdot12+1=11881=109^2\left(đpcm\right)\)