a: Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAKB vuông tại K

=>AK⊥EB tại K

Xét ΔEAB vuông tại A có AK là đường cao

nên \(AE^2=EK\cdot EB\)

b: Xét (O) có

EA,ED là các tiếp tuyến

Do đó: EA=ED
=>E nằm trên đường trung trực của AD(1)

OA=OD

=>O nằm trên đường trung trực của AD(2)

Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của AD

=>OE⊥AD

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>DA⊥DB

mà OE⊥AD
nên OE//BD

a: Xét tứ giác OACM có

\(\hat{OAC}+\hat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OACM là tứ giác nội tiếp

=>O,A,C,M cùng thuộc một đường tròn

b: Xét tứ giác OBDM có \(\hat{OBD}+\hat{OMD}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBDM là tứ giác nội tiếp

=>O,B,D,M cùng thuộc một đường tròn

c: Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó; CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

DC=DM+MC

mà DM=DB và CA=CM

nên DC=DB+CA

d: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Ta có: \(\hat{MOB}+\hat{MOA}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOD}+\hat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>ΔOCD vuông tại O

e: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(DB\cdot AC=OM^2=R^2\) không đổi

a: 

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là đường trung trực của MA

=>OC vuông góc với MA tại I

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

=>OD vuông góc với BM

Từ (1) và (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

b: AC*BD=MC*MD=MO^2=R^2

a: góc ACD=góc AMD=90 độ

=>ACMD nội tiếp

góc BMK+góc BCK=180 độ

=>BMKC nội tiếp

b: Xét ΔCAK vuông tại C và ΔCDB vuông tại C có

góc CAK=góc CDB

=>ΔCAK đồng dạng với ΔCDB

=>CA/CD=CK/BC

=>CA*CB=CD*CK

a: Xét tứ giác HAOM có

\(\widehat{HAO}+\widehat{HMO}=90^0+90^0=180^0\)

=>HAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

HA,HM là các tiếp tuyến

Do đó: HA=HM và OH là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

KM,KB là các tiếp tuyến

Do đó: KM=KB và OK là phân giác của góc MOB

Ta có: HM+MK=HK(M nằm giữa H và K)

mà HM=HA và KM=KB

nên HA+KB=HK

c: Ta có: HA=HM

=>H nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra HO là đường trung trực của AM

=>HO\(\perp\)AM

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)MB

Ta có: HO\(\perp\)AM

AM\(\perp\)MB

Do đó: HO//MB

=>\(\widehat{AOH}=\widehat{ABM}\)

Xét ΔAHO vuông tại A và ΔMAB vuông tại M có

\(\widehat{AOH}=\widehat{MBA}\)

Do đó: ΔAHO đồng dạng với ΔMAB

=>\(\dfrac{HO}{AB}=\dfrac{AO}{MB}\)

=>\(HO\cdot MB=AO\cdot AB=2R^2\)