hình dung hình vẽ nha bạn 

Trên tia đối tia NM lấy điểm P sao cho NM = NP

xét tg ANM và tg CNP có:

       MN  =  NP

       góc MNA = góc PNC (2 góc đối đỉnh)

       AN       =     NC  

=> tg ANM = tg CNP

=> góc AMN = góc CPN và MA = PC 

=> AM // PC và  MB = PC

nối PB ta có:

Xét tg BMP và tg PCM

   BM = PC

   BP : cạnh chung

   góc MBP = góc CPB (2 góc so le trong)

 => tg MBP = tg CPB

=>  MP = BC ; góc MPB = góc CBP mà MN = 1/2 PN  ;  góc CBP và góc MPB so le trong

=>  MN = 1/2 BC  ;  MP // BC

Vậy ......

CHÚC BẠN HỌC TỐT!

K MÌNH NHA

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó:MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2

\(1,\left\{{}\begin{matrix}AM=MB\\AN=NC\end{matrix}\right.\Rightarrow MN\) là đtb \(\Delta ABC\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC.hay.2MN=BC\)

\(2,\) Vì \(MN//BC\left(t/c.đtb\right)\Rightarrow MNCB\) là hình thang

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(\Delta ABC.cân\right)\)

\(\Rightarrow MNCB\) là hthang cân

\(3,\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MNO}=\widehat{OCB}\\\widehat{NMO}=\widehat{OBC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta MNO\sim\Delta COB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{MO}{OC}\Rightarrow\dfrac{2MI}{2CK}=\dfrac{MO}{OC}\Rightarrow\dfrac{MI}{CK}=\dfrac{MO}{OC}\)

Lại có \(\widehat{IMO}=\widehat{OCK}\left(so.le.trong\right)\)

\(\Rightarrow\Delta IMO\sim\Delta KCO\left(c.g.c\right)\)

Do đó \(\widehat{MOI}=\widehat{KOC}\Rightarrow I;O;K\) thẳng hàng \(\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được \(\Delta MAI\sim\Delta BAK\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{BHF}\Rightarrow A;I;K\) thẳng hàng \(\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow A;I;O;K\) thẳng hàng 

1) Xét ΔABC cân tại A, có:

M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình ΔABC

⇒ MN = 1/2BC ⇒ BC = 2MN (ĐPCM)

2) Xét tứ giác MNCB, có:

MN // BC(MN là đường trung bình)

MB = NC (do AB = AC và M, N là trung điểm AB, AC)

⇒ MNCB là hình thang.

mà:

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (do ΔABC cân tại A)

⇒ MNCB là hình thang cân.

d. Xét ΔAMN, có:

\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) (đồng vị so với \(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\))

⇒ ΔAMN cân tại A, mà AI ⊥ MN (do MN là cạnh đáy, I là trung điểm MN) ⇒ A,I thẳng hàng 

Chứng minh tương tự cho tam giác ABC với BC là cạnh đáy có K là trung điểm, ta được A, I, K thẳng hàng (1)

Có ΔMON cân, do \(\widehat{ONM}=\widehat{OMN}\) vì \(\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\) ⇒ OI thẳng hàng do I là trung điểm cạnh đáy MN của tam giác cân. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A, I, O, K thẳng hàng.

a: Xét ΔABC và ΔAMN có

AB=AM

\(\hat{BAC}=\hat{MAN}\) (hai góc đối đỉnh)

AC=AN

Do đó: ΔABC=ΔAMN

b: ΔABC=ΔAMN

=>\(\hat{ABC}=\hat{AMN}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BC//MN

c:

ΔABC=ΔAMN

=>BC=MN

mà \(BP=PC=\frac{BC}{2};NQ=QM=\frac{NM}{2}\)

nên BP=PC=NQ=QM

Xét ΔABP và ΔAMQ có

AB=AM

\(\hat{ABP}=\hat{AQM}\)

BP=QM

Do đó: ΔABP=ΔAMQ

=>\(\hat{BAP}=\hat{MAQ}\)

mà \(\hat{BAP}+\hat{MAP}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{MAP}+\hat{MAQ}=180^0\)

=>Q,A,P thẳng hàng

mà AQ=AP

nên A là trung điểm của PQ

a: Xét ΔABC và ΔADE có

AB=AD
\(\hat{BAC}=\hat{DAE}\) (hai góc đối đỉnh)

AC=AE

Do đó: ΔABC=ΔADE
b: ΔABC=ΔADE

=>\(\hat{ABC}=\hat{ADE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BC//DE
c: ΔABC=ΔADE

=>BC=DE
mà \(BM=CM=\frac{BC}{2};DN=NE=\frac{DE}{2}\)

nên BM=CM=DN=NE

Xét ΔABM và ΔADN có

AB=AD
\(\hat{ABM}=\hat{ADN}\overline{}\) (hai góc so le trong, BM//DN)

BM=DN

Do đó: ΔABM=ΔADN

=>\(\hat{BAM}=\hat{DAN}\)

mà \(\hat{BAM}+\hat{DAM}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{DAM}+\hat{DAN}=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

ΔABM=ΔADN

=>AM=AN

=>A là trung điểm của MN

a, Vì M,N là trung điểm AB,AC nên MN là đtb tg ABC

Do đó MN//BC

b, Vì MN là đtb tg ABC nên \(MN=\dfrac{1}{2}BC=6\left(cm\right)\)

c, Vì MN//BC nên BMNC là hình thang

giải chi tiết giúp em đc ko ạ