mình cần gâps huhu

=>AM=AN

Mình sửa lại đề: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Đường cao BD, CE cắt nhau tại H. EF cắt BC tại F. AF cắt lại (O) tại K. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Từ gt dễ thấy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm M.

b) Tứ giác BCDE nội tiếp nên theo phương tích ta có FB . FC = FD . FE.

Tứ giác AKBC nội tiếp nên theo phương tích ta có FK . FA = FB . FC.

Vậy ta có đpcm.

c) Ta có FA . FK = FE . FD nên theo phương tích đảo ta có tứ giác AKED nội tiếp.

Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính AH và FH là N.

Khi đó FH . FN = FE . FD = FB . FC.

Suy ra tứ giác BHNC nội tiếp.

Ta có \(\widehat{DNC}=360^o-\widehat{DNH}-\widehat{CNH}=\left(180^o-\widehat{DNH}\right)+\left(180^o-\widehat{CNH}\right)=\widehat{DEH}+\widehat{HBC}=2\widehat{HBC}=\widehat{DMC}\).

Do đó tứ giác DNMC nội tiếp.

Tương tự tứ giác ENMB nội tiếp.

Suy ra \(\widehat{DNM}+\widehat{DNA}=180^o-\widehat{ACB}+\widehat{AED}=180^o\) nên A, N, M thẳng hàng.

Từ đó \(\widehat{MHN}=\widehat{ANH}=90^o\) nên \(FH\perp AM\).

(Câu c là trường hợp đặc biệt của định lý Brocard khi tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm M).

Hình vẽ: 

a) Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có:

AB = AC (ΔABC cân tại A)

∠BAD chung

⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ BD = CE (hai cạnh tương ứng)

Vậy BD = CE

a) Sử dụng tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180⁰.

⇒   A B C ^ = A E C ^ ⇒   N B D ^ = M C A ^  

Trong DDBN có: N B D ^ + B N D ^ = 90 0  

Gọi O = CM Ç BN Þ CM ^ BN = O (1)

b) Xét DCNK có: CO ^ KN Þ CO ^ BN, CO là phân giác A C E ^  nên DCNK cân ở C Þ O là trung điểm KN (2).

Tương tự chứng minh được là trung điểm MH (3).

Từ (1),(2) và (3) suy ra MNHK là hình thoi.

a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có

AB=AC

góc BAD chung

=>ΔABD=ΔACE

=>AD=AE

Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC

nên ED//BC

=>BEDC là hình thang

mà BD=CE

nên BEDC là hình thang cân

b: góc ABD+góc DBC=góc ABC

góc ACE+góc ECB=góc ACB

mà góc ABD=góc ACE; góc ABC=góc ACB

nên góc DBC=góc ECB

=>ΔHBC cân tại H

c: AB=AC

HB=HC

=>AH là trung trực của BC

sửa đề: \(BH\cdot BD+CH\cdot CE=BC^2\)

Gọi K là giao điểm của AH và BC

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại K

Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có

\(\hat{KBH}\) chung

Do đó: ΔBKH~ΔBDC

=>\(\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BH\cdot BD=BK\cdot BC\)

Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có

\(\hat{KCH}\) chung

Do đó: ΔCKH~ΔCEB

=>\(\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CE=CK\cdot CB\)

\(BH\cdot BD+CH\cdot CE\)

\(=BK\cdot BC+CK\cdot BC=BC\cdot\left(BK+CK\right)=BC^2\)