Gọi d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến \(\Rightarrow\) d' cùng phương d

Phương trình d' có dạng: \(3x+2y+c=0\)

Lấy \(A\left(0;2\right)\) là 1 điểm thuộc d

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A'\Rightarrow A'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=0+\left(-1\right)=-1\\y'=2+3=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A'\left(-1;5\right)\)

Thế vào pt d':

\(3.\left(-1\right)+2.5+c=0\Rightarrow c=-7\)

Phương trình d': \(3x+2y-7=0\)

Cách 2:

Gọi d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến  d' cùng phương d

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+a\\y'=y+b\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-a=x'-\left(-1\right)=x'+1\\y=y'-b=y'-3\end{matrix}\right.\)

Thay \(x;y\) vào d ta đc:

\(\Rightarrow\left(d'\right):3\left(x'+1\right)+2\left(y'-3\right)-4=0\)

\(\Rightarrow\left(d'\right):3x'+2y'-7=0\)

Vậy ảnh của (d) là \(\left(d'\right):3x+2y-7=0\)

1. Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì nằm trên phân giác 

\(\Rightarrow d\left(M;d_1\right)=d\left(M;d_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left|3x-4y-3\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\dfrac{\left|12x+5y-12\right|}{\sqrt{12^2+5^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|39x-52y-39\right|=\left|60x+25y-60\right|\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}60x+25y-60=39x-52y-39\\60x+25y-60=-39x+52y+39\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+11y-3=0\\11x-3y-11=0\end{matrix}\right.\)

Xét \(3x+11y-3=0\) có vtpt \(\left(3;11\right)\)

Ta có: \(cos^{-1}\dfrac{\left|3.3-11.4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}.\sqrt{3^2+11^2}}=52^0>45^0\) (ktm)

\(\Rightarrow11x-3y-11=0\) là pt đường phân giác góc nhọn tạo bởi d1 và d2

2.

Phương trình d1: \(\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2m=0\)

Đường tròn (C) có tâm \(O\left(0;0\right)\) bán kính \(R=1\)

Đường thẳng d1 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi:

\(d\left(O;d_1\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2m\right|}{\sqrt{2+2}}=1\Leftrightarrow\left|2m\right|=2\)

\(\Rightarrow m=\pm1\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d_1\right);\left(d_2\right)\):

\(4-x=2x-5\)

\(\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=1\Rightarrow\left(3;1\right)\) là giao điểm của \(\left(d_1\right);\left(d_2\right)\)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi \(\left(3;1\right)\in\left(d_3\right)\)

\(\Leftrightarrow6-m-2m+1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\)

B thuộc d nên B(2y-2;y)

C thuộc d nên C(x;0,5x+1)

vecto BA=(2y-2;y-2)

vecto BC=(x-2y;0,5x+1-y)

Theo đề, ta có: (2y-2)(x-2y)+(y-2)(0,5x+1-y)=0 và 2y-2=2x-4y và y-2=2(0,5x+1-y)

=>2y-2x=-2 và y-2=x+2-2y

=>-x+y=-1 và x+2-2y-y+2=0

=>x-y=1 và x-3y=-4

=>x=3,5 và y=2,5 và (2y-2)(x-2y)+(y-2)(0,5x+1-y)=0

=>\(\left(x,y\right)\in\varnothing\)

d nhận \(\overrightarrow{n_d}=\left(1;1\right)\) là 1 vtpt

Gọi \(\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)\) là 1 vtpt của \(\Delta\), do d và \(\Delta\) tạo với nhau 1 góc 60 độ

\(\Rightarrow\dfrac{\left|a.1+b.1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{a^2+b^2}}=cos60^0=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}\left|a+b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)^2=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow a^2+4ab+b^2=0\)

Chọn \(a=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-2-\sqrt{3}\\b=-2+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Có 2 đường thẳng \(\Delta\) thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}1\left(x-2\right)-\left(2+\sqrt{3}\right)\left(y+6\right)=0\\1\left(x-2\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(y+6\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\left(2+\sqrt{3}\right)y-14-6\sqrt{3}=0\\x-\left(2-\sqrt{3}\right)y-14+6\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\)

Tương tự bài trước, ta có:

\(\dfrac{\left|a.1+b.1\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}}=cos45^0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|a+b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2ab=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\)

Với \(a=0\) chọn \(b=1\) ; với \(b=0\) chọn \(a=1\), vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}0\left(x-2\right)+1\left(y+6\right)=0\\1\left(x-2\right)+0\left(y+6\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+6=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)