a) Vì \(A,M,B\in\left(O\right)\); AB là đường kính

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\)

\(\Rightarrow AM\perp MB\)

Xét tam giác ANB có: BM vừa là đường cao vừa là đường trung bình 

\(\Rightarrow\Delta ANB\)cân tại B

\(\Rightarrow NB=BA\)

\(\Rightarrow N\in\left(C;\frac{BA}{2}\right)\)cố định

b) Vì BM là đường cao của tam giác ABN cân tại B

=> BM là phân giác góc ABN

=> góc ABM= góc NBM

Xét tam giác ARB và tam giác NRB có:

\(\hept{\begin{cases}BRchung\\\widehat{ABM}=\widehat{NBM}\left(cmt\right)\\AB=NB\end{cases}\Rightarrow\Delta ARB=\Delta NRB\left(c-g-c\right)}\)

\(\Rightarrow\widehat{RAB}=\widehat{RNB}=90^0\)

\(\Rightarrow RN\perp BN\)

\(\Rightarrow RN\)là tiếp tuyến của (C)

c) Ta có: A,P,B thuộc (O); AB là đường kính

\(\Rightarrow\widehat{APB}=90^0\)

\(\Rightarrow AP\perp BP\)

\(\Rightarrow RN//AP\)( cùng vuông góc với NB )

Xét tam giác NAB có: \(\hept{\begin{cases}MB\perp AN\\AP\perp BN\end{cases}}\); AP cắt BM tại Q

\(\Rightarrow Q\)là trực tâm tam giác NAB

\(\Rightarrow NQ\perp AB\)

=> NQ // AR(  cùng vuông góc với  AB)

Xét tứ giác ARNQ có:

\(\hept{\begin{cases}AR//NQ\left(cmt\right)\\RN//AP\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow ARNQ}\)là hình bình hành

Mà 2 đường chéo RQ và AN vuông góc với nhau

=> ARNQ là hình thoi 

a: Xét (O) có

ΔCFD nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCFD vuông tại F

=>BF⊥ FC tại F

Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

=>DE⊥BC tại E

Xét tứ giác CFAB có \(\hat{CFB}=\hat{CAB}=90^0\)

nên CFAB là tứ giác nội tiếp

=>C,F,A,B cùng thuộc một đường tròn

b: Gọi K là giao điểm của CF và AB

Xét ΔKBC có

BF,CA là các đường cao

BF cắt CA tại D

DO đó: D là trực tâm của ΔKBC

=>KD⊥BC

mà DE⊥BC

và KD,DE có điểm chung là D

nên K,D,E thẳng hàng

=>DE,CF,BA đồng quy tại K

c: Xét ΔKFB vuông tại F và ΔKAC vuông tại A có

\(\hat{FKB}\) chung

Do đó: ΔKFB~ΔKAC

=>\(\frac{KF}{KA}=\frac{KB}{KC}\)

=>\(KF\cdot KC=KB\cdot KA\)

A B C O M N E I K O'

a) Ta có ^BME = ^BOE = 2.^BIE (= 2.^BIM) => ^BIM = ^MBI = ^BME/2 => \(\Delta\)MBI cân tại M (đpcm).

b) Ta dễ thấy ^KNA = ^OBA = ^OAB (= 30⁰) => \(\Delta\)NKA cân tại K => KA = KN (1)

Lại có ^BEN = 180⁰ - ^BON = 60⁰ = ^CAB = ^BEC => Tia EN trùng tia EC hay N,E,C thẳng hàng

Từ đó ^CMN = ^BEC = 60⁰ = ^CBA => MN // BK

Mà tứ giác BMNK nội tiếp (O') nên KN = BM = IM (Vì \(\Delta\)MBI cân tại M)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra IM = KA (đpcm).

ΔKBO=ΔKCO

=>KB=KC

=>KO là trung trực của BC

ΔKCO đồng dạng với ΔCIO

=>OC/OI=OK/OC

=>OC^2=OI*OK

=>OI*OK=ON^2

=>OI/ON=ON/OK

=>ΔOIN đồng dạng với ΔONK

=>gócc ONI=góc OKN

Tương tự, ta có: OI/OM=OM/OK

=>ΔMKO đồng dạng với ΔIMO

=>góc MKO=góc IMO=góc INO

=>góc MKD=góc NKD

=>K,M,N thẳng hàng

=>K luôn thuộc MN