Đáp án D

Đáp án A

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2}AC=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow OA=OB=OC=OD=SO\Rightarrow\) O đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

\(\Rightarrow R=OA=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{8\pi\sqrt{2}}{3}\)

Đáp án A

Đáp án D

Đáp án D 

Chọn B.

Góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là   S B A ^ = 60 o

Ta có: Diện tích đáy:   S A B C D = a 2

Tam giác SAB vuông tại A 

S A = A B . tan S B A ^ = a . tan 60 o = a 3

Thể tích khối chóp S.ABCD là

V = 1 3 . S A B C D . S A = 1 3 a 2 . a 3 = a 3 3 3

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ S(0,0,h)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$ nên:

- Vector pháp tuyến mặt phẳng đáy: $\vec{n}_0 = (0,0,1)$

- Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SBC)$: $\vec{n}_1$ vuông góc với $(SBC)$, đi qua $B,C,S$.

- Góc $\theta$ giữa mặt phẳng: $\sin \theta = \frac{|\text{chiều cao từ S tới BC}|}{|\vec{SB} \times \vec{SC}| / |BC|}$

Nhận thấy mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác vuông tại $S$ vì $SA \perp (ABCD)$, và góc với đáy $60^\circ$.

Chiều cao $h$ tính theo $a$:

$\sin 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow 3(a^2 + h^2) = 4 h^2 \Rightarrow 3 a^2 + 3 h^2 = 4 h^2 \Rightarrow h^2 = 3 a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Thể tích khối chóp:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn B. $a^3 \sqrt{3}/3$