Dễ vãi 

MAPN là hình vuông

=>MP là đường trung trực của AN

=>C nằm trên đường trung trực của AN

=>CA=CN

MAPN là hình vuông

=>MP là phân giác của góc AMN

=>\(\hat{AMC}=\hat{BMC}\)

Xét (O) có

\(\hat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\hat{BMC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

\(\hat{AMC}=\hat{BMC}\)

Do đó: sđ cung CA=sđ cung CB

=>CA=CB

mà CA=CN

nên CA=CN=CB

=>C là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔANB

Ta có: AC là tiếp tuyến của (O) (gt)

=) AC vuông góc OA 

=) Góc OAC = 90độ (1)

Lại có: DC là tiếp tuyến của (O) (gt)

=) DC vuông góc OD

=) Góc ODC = 90độ (2)

Từ (1) và (2) =) góc ODC + góc OAC = 180 độ

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau                           

=) Tứ giác OACD nội tiếp

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là trung trực của AM

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: Xét tứ giác MEOF có

góc MEO=góc MFO=góc EOF=90 độ

nên MEOF là hình chữ nhật

=>EF=MO=R

a: Xét tứ giác ONFP có \(\hat{\left.ONF\right.}+\hat{OPF}=90^0+90^0=180^0\)

nên ONFP là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔFMQ có

MN,QP là các đường cao

FN cắt QP tại O

Do đó: O là trực tâm của ΔFMQ

=>OF⊥MQ

Xét ΔPMO vuông tại P và ΔPQF vuông tại P có

\(\hat{PMO}=\hat{PQF}\left(=90^0-\hat{POM}\right)\)

Do đó: ΔPMO~ΔPQF

=>\(\frac{PM}{PQ}=\frac{PO}{PF}\)

=>\(PM\cdot PF=PO\cdot PQ\)

1: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CB tại C

Xét tứ giác IECB có \(\hat{EIB}+\hat{ECB}=90^0+90^0=180^0\)

nên IECB là tứ giác nội tiếp

2; ΔOMN cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA là phân giác của góc MON

=>sđ cung AM=sđ cung AN

Xét (O) có

\(\hat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

\(\hat{ACM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

sđ cung AN=sđ cung AM

Do đó: \(\hat{AMN}=\hat{ACM}\)

Xét ΔAME và ΔACM có

\(\hat{AME}=\hat{ACM}\overline{}\)

góc MAE chung

Do đó: ΔAME~ΔACM

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AE}{AM}\)

=>\(AM^2=AE\cdot AC\)

3: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét ΔMAB vuông tại M có MI là đường cao

nên \(AI\cdot BI=MI^2\)

\(AE\cdot AC-AI\cdot BI=AM^2-MI^2=AI^2\)

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó; DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\overline{}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

CD=CM+MD

=CA+BD

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(AC\cdot BD=OM^2=R^2\) không đổi

c: ΔOAM cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥AM tại E và E là trung điểm của AM

ΔOBM cân tại O

mà OF là đường phân giác

nên OF⊥BM tại F và F là trung điểm của BM

Xét tứ giác OEMF có \(\hat{OEM}=\hat{OFM}=\hat{EOF}=90^0\)

nên OEMF là hình chữ nhật

=>EF=OM=R

a; Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CB tại C

Xét tứ giác BCDO có \(\hat{BCD}+\hat{BOD}=90^0+90^0=180^0\)

nên BCDO là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAOD vuông tại O và ΔACB vuông tại C có

\(\hat{OAD}\) chung

Do đó: ΔAOD~ΔACB

=>\(\frac{AO}{AC}=\frac{AD}{AB}\)

=>\(AD\cdot AC=AO\cdot AB\)

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CB tại C

Xét tứ giác CEIB có \(\hat{ECB}+\hat{EIB}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEIB là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAIE vuông tại I và ΔACB vuông tại C có

\(\hat{IAE}\) chung

Do đó: ΔAIE~ΔACB

=>\(\frac{AI}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AE\cdot AC=AI\cdot AB\left(1\right)\)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét ΔMAB vuông tại M có MI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AM^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AC=AM^2\)