t hỏi m bị đúp à

Đúp là j

Ta có:  \(a^{2} + b^{2} + 1 = 2 \left(\right. a b + a + b \left.\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^{2} + b^{2} + 1 - 2 a b - 2 a - 2 b = 0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\right. a^{2} - 2 a b + b^{2} \left.\right) - 2 a + 2 b + 1 - 4 b = 0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left(\right. a - b \left.\right)\right)^{2} - 2 \left(\right. a - b \left.\right) + 1 = 4 b\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left(\right. a - b - 1 \left.\right)\right)^{2} = 4 b\)                                                             \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Do đó \(4 b\)là một số chính phương, mà 4 là số chính phương suy ra b là số chính phương.

Đặt  \(b = x^{2} ,\)thay vào \(\left(\right. 1 \left.\right)\):                           \(\left(\left(\right. a - x^{2} - 1 \left.\right)\right)^{2} = 4 x^{2}\)

                                                                   \(\Leftrightarrow\)\(\left(\left(\right. a - x^{2} - 1 \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. 2 x \left.\right)\right)^{2}\)

                  * Xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: \(a - x^{2} - 1 = 2 x\)\(\Leftrightarrow\)\(a = x^{2} + 2 x + 1 = \left(\left(\right. x + 1 \left.\right)\right)^{2}\)

Ta có  \(b = x^{2}\)và  \(a = \left(\left(\right. x + 1 \left.\right)\right)^{2}\)\(\Rightarrow\)\(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

- Trường hợp 2:  \(a - x^{2} - 1 = - 2 x\)\(\Leftrightarrow\)\(a = x^{2} - 2 x + 1 = \left(\left(\right. x - 1 \left.\right)\right)^{2}\)

Ta có  \(b = x^{2}\)và  \(a = \left(\left(\right. x - 1 \left.\right)\right)^{2}\)\(\Rightarrow\)\(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

                           Vậy  \(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

Ta có:  \(a^2+b^2+1=2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+1-2ab-2a-2b=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)-2a+2b+1-4b=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2-2\left(a-b\right)+1=4b\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b-1\right)^2=4b\)                                                             \(\left(1\right)\)

Do đó \(4b\)là một số chính phương, mà 4 là số chính phương suy ra b là số chính phương.

Đặt  \(b=x^2,\)thay vào \(\left(1\right)\):                           \(\left(a-x^2-1\right)^2=4x^2\)

                                                                   \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-x^2-1\right)^2=\left(2x\right)^2\)

                  * Xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: \(a-x^2-1=2x\)\(\Leftrightarrow\)\(a=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\)

Ta có  \(b=x^2\)và  \(a=\left(x+1\right)^2\)\(\Rightarrow\)\(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

- Trường hợp 2:  \(a-x^2-1=-2x\)\(\Leftrightarrow\)\(a=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)

Ta có  \(b=x^2\)và  \(a=\left(x-1\right)^2\)\(\Rightarrow\)\(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

                           Vậy  \(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

hi chao ban

Em không chắc đâu ạ.

\(PT\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab-2a-2b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2-2\left(a+b\right)+1=0\)

Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(a+b\right)^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4ab\ge0\Leftrightarrow ab\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)

Với a = 0 thì \(b^2-2b+1=0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2=0\Leftrightarrow b=1\)

Khi đó a,b là hai số chính phương liên tiếp (1)

Tương tự ta cũng có với b = 0 thì a = 1.

Khi đó a,b là hai số chính phương liên tiếp (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm.

Ơ chết,hình như mình sai thì phải

Ta có: \(a^2+b^2+1=2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab+2a-2b=4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b+1\right)^2=4a\)(*)

Do a,b nguyên nên \(\left(a-b+1\right)^2\)là số chính phương. Suy ra a là số chính phương a=x² (x nguyên)

Khi đó (*) trở thành : \(\left(x^2-b+1\right)^2=4x^2\Rightarrow x^2-b+1=\pm2x\Leftrightarrow b=\left(x\mp1\right)^2\)

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp.

Gọi \(a , b\) là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Ta có thể viết

\(a=(2k-1)^2\) , \(b=(2k+1)^2\)

với \(k \in \mathbb{Z}\). Ta chú ý

ab−a−b+1=(a−1)(b−1)

Tính \(a - 1\) và \(b - 1\):

a−1=(2k−1)2−1=4k(k−1)

\(b-1=\left(2k+1\right)^2-1=4k(k+1)\)

Vậy

ab−a−b+1)=(a−1)(b−1)=16\(k^2\) \((k-1)(k+1)=16k^2(k^2-1)\)

Do đó cần chứng minh \(k^2(k^2-1)k^2(k^2-1)\) chia hết cho \(12\) (vì \(16 \cdot 12 = 192\)). Nhưng (k−1)k(k+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên:

• một trong ba số đó chia hết cho \(3\) ⇒ tích chia hết cho \(3\)
• về \(4\): nếu \(k\) chẵn thì \(k^{2}\) chia hết cho \(4\); nếu \(k\) lẻ thì \(k - 1\) và \(k + 1\) đều chẵn và một trong hai chia hết cho \(4\). Vậy tích chia hết cho \(4\)

Từ hai điều trên suy ra \(k^{2} \left(\right. k^{2} - 1 \left.\right)\) chia hết cho \(3\) và \(4\), do đó chia hết cho \(12\). Kết hợp với hệ số \(16\) ta có

\(a b - a - b + 1 = 16 \cdot \left(\right. k^{2} \left(\right. k^{2} - 1 \left.\right) \left.\right)\)

chia hết cho \(16 \cdot 12 = 192\). Điều phải chứng minh.