Ta cần chứng minh biểu thức:

\(A = 3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

chia hết cho:

\(B = \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

với \(x , y , z\) đôi một khác nhau, và \(n \in \mathbb{Z} , n > 1\).

Bước 1: Phân tích mẫu số B

Ta xét:

\(B = \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

Sử dụng hằng đẳng thức:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \text{khi}\&\text{nbsp}; a + b + c = 0\)

Đặt:

• \(a = x - y\)
• \(b = y - z\)
• \(c = z - x\)

Khi đó:

\(a + b + c = \left(\right. x - y \left.\right) + \left(\right. y - z \left.\right) + \left(\right. z - x \left.\right) = 0 \Rightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \Rightarrow B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

⇒ Kết luận:

\(B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

Bước 2: Phân tích tử số A

Xét:

\(A = 3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Rút 3 ra ngoài:

\(A = 3 \left[\right. x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\)

Gọi:

\(A^{'} = x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Mục tiêu: Chứng minh \(A^{'}\) chia hết cho \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

Bước 3: Ý tưởng dùng đối xứng và định lý đa thức

Đặt \(f \left(\right. x , y , z \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Tính đối xứng:

• Nếu hoán vị các biến, biểu thức \(f \left(\right. x , y , z \left.\right)\) chỉ đổi dấu, không thay giá trị tuyệt đối. Nên \(f \left(\right. x , y , z \left.\right)\) là một đa thức phản đối xứng.

Ta sẽ chứng minh:

\(\left(\right. x - y \left.\right) , \left(\right. y - z \left.\right) , \left(\right. z - x \left.\right) \mid f \left(\right. x , y , z \left.\right)\)

Nếu \(x = y \Rightarrow f \left(\right. x , x , z \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - x \left.\right) + x^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. x - x \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - x + x - z \left.\right) + 0 = 0\)

⇒ \(x - y \mid f \left(\right. x , y , z \left.\right)\)

Tương tự:

• \(y = z \Rightarrow f \left(\right. x , y , y \left.\right) = 0 \Rightarrow y - z \mid f\)
• \(z = x \Rightarrow f \left(\right. x , y , x \left.\right) = 0 \Rightarrow z - x \mid f\)

⇒ Vậy: \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right) \mid A^{'}\)

⇒ \(3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right) \mid A\)

Mà \(B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

✅ Kết luận:

\(A \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; B\)

hay:

\(3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right) \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

với mọi số nguyên \(n > 1\), và \(x , y , z\) đôi một khác nhau.

Nếu bạn cần chứng minh bằng phương pháp khác (ví dụ: dùng định lý đồng dư, đa thức hoặc kiểm tra cụ thể), mình có thể hỗ trợ tiếp.

bài 1 ) tìm 2 phân số có tử =9 biết giá trị của mỗi phân số lớn hơn -11/13 và nhỏ hơn -11/15

Giải

Gọi phân số cần tìm là: a/b khi đó: a; b ∈ Z; b ≠ 0 và a = 9

Theo bài ra ta có:

-11/13 < 9/b < -11/15

-99/117 < 99/11b < -99/135

-117 > -11b > -135

-117/11 > b > -135/11

-10\(\frac{7}{11}\) > b > - 12\(\frac{3}{11}\)

- 11

Vậy phân số cần tìm là: - 9/11

M-N=x-y+z+2-x-3=z-y-1=1

=>z-y=2

=>M=x+z-y+2=x+2+2=x+4

=>M;N là 2 số nguyên liên tiếp

=>đpcm

Câu 1:

Ta có: \(9^{2n}-1=81^n-1\)

Mà \(81^n\)luôn có chữ số tận cùng là 1

Suy ra \(9^{2n}-1\)có chữ số tận cùng là 0

Vậy chia hết cho 2 và 5

dễ thấy...

Bài này tương tự bài 20.7 trong quyển Tài liệu chuyên toán THCS 9 tập 1 của ông Tôn thân ý 

Dùng phương pháp quy nạp nhé