Để x + 2y và 2x - y là số hữu tỷ, ta có thể thiết lập hệ phương trình sau:

x + 2y = a/b (1)

2x - y = c/d (2)

Trong đó a, b, c, d là các số nguyên và b, d khác 0.

Từ phương trình (1), ta có x = a/b - 2y. Thay vào phương trình (2), ta có:

2(a/b - 2y) - y = c/d

2a/b - 4y - y = c/d

2a/b - 5y = c/d

Để 2a/b - 5y là số hữu tỷ, ta cần 5y cũng là số hữu tỷ. Vì vậy, y phải là số hữu tỷ.

Tiếp theo, để x = a/b - 2y là số hữu tỷ, ta cần a/b - 2y cũng là số hữu tỷ. Vì y là số hữu tỷ, nên a/b - 2y cũng là số hữu tỷ.

Vậy, nếu x + 2y và 2x - y là số hữu tỷ, thì x và y đều là số hữu tỉ.

Đáp án A

Theo đề ta có \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\in Z\) và \(\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)

hay \(\left(xy+\frac{1}{xy}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\in Z\)

Suy ra \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\right)\in Z\)

Vậy \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\) là số nguyên (đpcm).

\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)=xy+2+\frac{1}{xy}\)

vì 2 nguyên nên \(xy+\frac{1}{xy}\)nguyên

\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)

nen \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\)nguyên

x+1;x+2y;3y+3 theo thứ tự là 1 cấp số cộng

=>x+1+3y+3=2(x+2y)

=>2x+4y=x+3y+4

=>2x-x=3y+4-4y

=>x=-y+4

=>x+y=4

=>y=4-x

x+1;y+1;3y-1 theo thứ tự là cấp số nhân

=>\(\left(y+1\right)^2=\left(x+1\right)\left(3y-1\right)\)

=>\(\left(4-x+1\right)^2=\left(x+1\right)\left(12-3x-1\right)\)

=>\(\left(5-x\right)^2=\left(x+1\right)\left(-3x+11\right)\)

=>\(x^2-10x+25=-3x^2+11x-3x+11=-3x^2+8x+11\)

=>\(4x^2-18x+14=0\)

=>\(2x^2-9x+7=0\)

=>(x-1)(2x-7)=0

=>x=1 hoặc x=7/2

Khi x=1 thì y=4-x=4-1=3

Khi x=7/2 thì \(y=4-\frac72=\frac12\)

Vì `x+1;x+2y;3y+3` là `1` CSC `=>2x+4y=x+1+3y+3<=>x=4-y`   `(1)`

Vì `x+1;y+1;3y-1` là `1` CSN `=>(y+1)^2=(x+1)(3y-1)`    `(2)`

Từ `(1);(2)=>y^2+2y+1=(4-y+1)(3y-1)`

      `<=>y^2+2y+1=-3y^2+y+15y-5`

      `<=>[(y=3),(y=1/2):}`

  `=>[(x=1),(x=7/2):}`