Ta có:

+) \(\left(2n^2+n+2\right)^2=4n^4+4n^3+9n^2+4n+4>4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\)

     Giải thích: \(3n^2+n+2>0\forall n\inℤ\)

+)\(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2>4n^4+4n^3+5n^2+2n+1=\left(2n^2+n+1\right)^2\)

     Giải thích: \(n^2+n+1>0\forall n\inℤ\)

Ta thấy \(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\)bị kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp nên không thể là số chính phương

làm sao bạn tìm ra hai bình phương kẹp A ở giữa thế bạn, chỉ mik với?

Giả sử \(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\) là một số chính phương

Đặt A²=\(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\)

Ta có \(A^2=4n^4+4n^3+6n^2+3n+2=\left(4n^4+4n^3+5n^2+2n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(4n^4+n^2+1+4n^3+4n^2+2n\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(2n^2+n+1\right)^2+\left(n^2+n+1\right)\)

Ta có \(n^2+n+1>0\)

Vậy \(A^2>\left(2n^2+n+1\right)^2\Leftrightarrow A>2n^2+n+1\left(1\right)\)

Ta có \(A^2=4n^4+4n^3+6n^2+3n+2=\left(4n^4+4n^3+9n^2+4n+4\right)-\left(3n^2+n+2\right)=\left(4n^4+n^2+4+4n^3+8n^2+4n\right)-\left(3n^2+n+2\right)=\left(2n^2+n+2\right)^2-\left(3n^2+n+2\right)\)

Ta có \(3n^2+n+2>0\)

Vậy \(A^2< \left(2n^2+n+1\right)^2\Leftrightarrow A< 2n^2+n+1\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Leftrightarrow2n^2+n+1< A< 2n^2+n+2\)(vô lý với n\(\in Z\))

Vậy trái với giả sử

Vậy \(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\) không là số chính phương với \(n\in Z\)

a: ĐKXĐ: n<>1

Để \(\frac{2n-1}{n-1}\) là số nguyên thì 2n-1⋮n-1

=>2n-2+1⋮n-1

=>1⋮n-1

=>n-1∈{1;-1}

=>n∈{2;0}

b: ĐKXĐ: n<>-1

Để \(\frac{3n+5}{n+1}\) là số nguyên thì 3n+5⋮n+1

=>3n+3+2⋮n+1

=>2⋮n+1

=>n+1∈{1;-1;2;-2}

=>n∈{0;-2;1;-3}

c: ĐKXĐ: n<>-3

Để \(\frac{4n-2}{n+3}\) là số nguyên thì 4n-2⋮n+3

=>4n+12-14⋮n+3

=>-14⋮n+3

=>n+3∈{1;-1;2;-2;7;-7;14;-14}

=>n∈{-2;-4;-1;-5;4;-10;11;-17}

d: ĐKXĐ: n<>-4/3

Để \(\frac{6n-4}{3n+4}\) là số nguyên thì 6n-4⋮3n+4

=>6n+8-12⋮3n+4

=>-12⋮3n+4

=>3n+4∈{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12}

=>3n∈{-3;-5;-2;-6;-1;-7;0;-8;2;-10;8;-16}

=>n∈{\(-1;-\frac53;-\frac23;-2;-\frac13;-\frac73;0;-\frac83;\frac23;-\frac{10}{3};\frac83;-\frac{16}{3}\) }

mà n là số nguyên

nên n∈{-1;-2;0}

e: ĐKXĐ: n<>1/2

Để \(\frac{n+3}{2n-1}\) là số nguyên thì n+3⋮2n-1

=>2n+6⋮2n-1

=>2n-1+7⋮2n-1

=>7⋮2n-1

=>2n-1∈{1;-1;7;-7}

=>2n∈{2;0;8;-6}

=>n∈{1;0;4;-3}

f: \(\frac{6n-4}{3n-2}=\frac{2\left(3n-2\right)}{3n-2}=2\) là số nguyên với mọi n nguyên

g: ĐKXĐ: n<>1/3

Để \(\frac{2n+3}{3n-1}\) là số nguyên thì 2n+3⋮3n-1

=>6n+9⋮3n-1

=>6n-2+11⋮3n-1

=>11⋮3n-1

=>3n-1∈{1;-1;11;-11}

=>3n∈{2;0;12;-10}

=>n∈{2/3;0;4;-10/3}

mà n nguyên

nên n∈{0;4}

a: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow d=1\)

Vậy: 2n+3 và 3n+5 là hai số nguyên tố cùng nhau