xy+2x+y=18

=>x(y+2)+y+2=20

=>(x+1)(y+2)=20

mà y+2>=2 với mọi y là số tự nhiên và x+1>=1 với mọi x là số tự nhiên

nen (x+1;y+2)∈{(1;20);(2;10);(4;5);(5;4);(10;2)}

=>(x;y)∈{(0;18);(1;8);(3;3);(4;2);(9;0)}

Ta có: \((x + y)xy = x^2 + y^2 - xy \quad (1)\)

\(M = \frac{x^3 + y^3}{x^3 y^3} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(xy)^3}\)

(1): \(\left(x+y\right)\cdot xy=x^2+y^2-xy\)

Do đó: \(M=\frac{xy\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy\right)^2}\)

Đặt \(t = \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

=>\(M=t^2\)

(1): \((x + y)xy = x^2 + y^2 - xy\)

=>\((x+y)xy=(x+y)^2-3xy\)

=>\(\frac{x + y}{xy} = \left(\frac{x + y}{xy}\right)^2 - \frac{3}{xy}\)

=>\(t=t^2-\frac{3}{xy}\iff\frac{3}{xy}=t^2-t\iff xy=\frac{3}{t^2 - t}\)

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

=>\(\left(t\cdot xy\right)^2\ge4xy\)

=>\(t^2\cdot\left(xy\right)^2-4xy\ge0\)

=>xy\(\left(t\cdot xy-4\right)\) >=0

=>\(\frac{3}{t^2 - t} \left(t^2 \cdot \frac{3}{t^2 - t} - 4\right) \ge 0\)

=>\(\frac{3}{t^2 - t}\left(\frac{3t^2 - 4(t^2 - t)}{t^2 - t}\right)\ge0\)

=>\(\frac{3(4t - t^2)}{(t^2 - t)^2}\ge0\)

=>\(4t-t^2\ge0\)

=>\(t^2-4t\le0\)

=>t(t-4)<=0

=>0<t<=4

=>t∈(0;4]

\(M = t^2 \le 4^2 = 16\)

Dấu '=' xảy ra khi t=4

=>\(xy=\frac{3}{4^2 - 4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4};x+y=t\cdot xy=1\)

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

\(A^2-A+\frac14=0\)

=>\(\left(A-\frac12\right)^2=0\)

=>A-1/2=0

=>A=1/2

=>x=y=1/2

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow xy\le\frac{2017^2}{4}=\frac{4068289}{4}\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{2017}{2}=1008,5\)

 Vậy giá trị lớn nhất của tích xy là \(\frac{4068289}{4}\)\(\Leftrightarrow x=y=1008,5\)

NHỚ K MÌNH NHA

Nhầm rồi b. x,y là tự nhiên khác 0 mà.