a: \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (0 < x < 2) \\ 2 & (x \ge 2) \\ (x - 1)^2 & (x \le 0) \end{cases}\)

Tại x=0 thì ta có:

\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = (0 - 1)^2 = 1\)

\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2(0) + 1 = 1\)

Vì \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1\) nên hàm số liên tục tại x=0

Tại x=2 thì ta có:

\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) + 1 = 5\)

\(\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 2\)

Vì \(\lim_{x\to2^{-}}f(x)<>\lim_{x\to2^{+}}f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại x=2

=>Hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;2); (2;+∞)

b: \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} & (x \neq 1) \\ -\dfrac{1}{2} & (x = 1) \end{cases}\)

Khi x=1 thì ta có:

\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x - 2) = 1 - 2 = -1\)

\(f(1) = -\dfrac{1}{2}\)

Vì \(\lim_{x\to1}f(x)<>f(1)\) nên hàm số gián đoạn tại x=1

=>Hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;1); (1;+∞)

a) Hình a:

b)Hình b:

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|f\left(x\right)\right|=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2sin\dfrac{1}{x}\right|< \lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2\right|=0\).
Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0\).
\(f\left(0\right)=A\).
Để hàm số liên tục tại \(x=0\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\Leftrightarrow A=0\).
Để xét hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) ta xét giới hạn:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^2sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}xsin\dfrac{1}{x}=0\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x=0\).

xét tính liên tục của hs 
ai giúp mình với 

Xét tính liên tục tại \(x=0\) hay xét trên toàn miền R em nhỉ?

\(f\left(-2\right)-f\left(1\right)=\left(-2\right)^2+2+\sqrt{2-\left(-2\right)}-\left(1^2+2+\sqrt{2-1}\right)\) \(=8-4=4\).
\(f\left(-7\right)-g\left(-7\right)=\left(-7\right)^2+2+\sqrt{2-\left(-7\right)}-\left(-2.\left(-7\right)^3-3.\left(-7\right)+5\right)=-658\)

\(f\left(0\right)=2.0+m+1=m+1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\dfrac{1}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\)\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\Leftrightarrow m+1=\dfrac{1}{3}\Rightarrow m=-\dfrac{2}{3}\)

\(f\left(5\right)=-5^2+2.5=-15\)
\(f\left(-2\right)=-\left(-2\right)^2+2.\left(-2\right)=-8\)
\(f\left(2\right)=-2^2+2.2=0\)