Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AE}{AB}\right)^2=cos^2BAC\)

=>\(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\frac{1}{cos^2BAC}\)

Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên:
$\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$.

=> $A,E,F,H$ cùng thuộc một đường tròn (đường kính $AH$).

Vì $I$ là trung điểm của $AH$ nên:
$I$ là tâm đường tròn đường kính $AH$.

Do đó: $IE = IF$.

Lại có $O$ là trung điểm của $BC$ nên: $OB = OC$.

Xét tam giác $BHC$ ta có:
$HB = HC$ (tính chất trực tâm trong tam giác nhọn).

=> $H$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Do đó: $OH \perp BC$.

Mà $E,F \in BC$ nên: $OE \perp IH,\quad OF \perp IH$.

=> $\widehat{IEO} = 90^\circ,\quad \widehat{IFO} = 90^\circ$.

Vậy: $\triangle IEO$ và $\triangle IFO$ đều là tam giác vuông.

a, BE=CD và BE vuông góc với CD.

b, KL là trung điểm cuarDE và AK=1/2BC.

a: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔADC vuông tại D có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔADC

=>\(\frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AH\cdot AD\)

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

c: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\hat{FHB}=\hat{EHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFB~ΔHEC

=>\(\frac{HF}{HE}=\frac{HB}{HC}\)

=>\(\frac{HF}{HB}=\frac{HE}{HC}\)

=>\(HF\cdot HC=HE\cdot HB\)

d: Xét ΔHFE và ΔHBC có

\(\frac{HF}{HB}=\frac{HE}{HC}\)

\(\hat{FHE}=\hat{BHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFE~ΔHBC

=>\(\hat{HEF}=\hat{HCB}=\hat{FCB}=90^0-\hat{ABC}\) (1)

Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có

\(\hat{EHA}=\hat{DHB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔHEA~ΔHDB

=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HA}{HB}\)

=>\(\frac{HE}{HA}=\frac{HD}{HB}\)

Xét ΔHED và ΔHAB có

\(\frac{HE}{HA}=\frac{HD}{HB}\)

\(\hat{EHD}=\hat{AHB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔHED~ΔHAB

=>\(\hat{HED}=\hat{HAB}=\hat{BAD}=90^0-\hat{ABC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{HEF}=\hat{HED}\)

=>EB là phân giác của góc FED

e: Xét ΔBDA vuông tại D và ΔBFC vuông tại F có

\(\hat{DBA}\) chung

Do đó: ΔBDA~ΔBFC

=>\(\frac{BD}{BF}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BF\cdot BA=BD\cdot BC\)

Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có

\(\hat{DCA}\) chung

Do đó: ΔCDA~ΔCEB

=>\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(CE\cdot CA=CD\cdot CB\)

\(BF\cdot BA+CE\cdot CA\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC^2\)

f: Xét ΔHBC có HD là đường cao

nên \(S_{HBC}=\frac12\cdot HD\cdot BC\) (3)

Xét ΔABC có AD là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HD\cdot BC}{\frac12\cdot AD\cdot BC}=\frac{HD}{AD}\)

Xét ΔHAC có HE là đường cao

nên \(S_{HAC}=\frac12\cdot HE\cdot AC\left(5\right)\)

Xét ΔBAC có BE là đường cao

nên \(S_{BAC}=\frac12\cdot BE\cdot AC\left(6\right)\)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{S_{HAC}}{S_{BAC}}=\frac{\frac12\cdot HE\cdot AC}{\frac12\cdot BE\cdot AC}=\frac{HE}{BE}\)

Xét ΔHAB có HF là đường cao

nên \(S_{HAB}=\frac12\cdot HF\cdot AB\) (7)

Xét ΔCAB có CF là đường cao

nên \(S_{CAB}=\frac12\cdot CF\cdot AB\) (8)

Từ (7),(8) suy ra \(\frac{S_{HAB}}{S_{BAC}}=\frac{\frac12\cdot HF\cdot AB}{\frac12\cdot CF\cdot AB}=\frac{HF}{CF}\)

\(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\)

\(=\frac{S_{AHB}+S_{HAC}+S_{HBC}}{S_{BAC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

a: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔADC vuông tại D có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔADC

=>\(\frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AH\cdot AD=AE\cdot AC\)

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc FAE chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

c: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\hat{FHB}=\hat{EHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFB~ΔHEC

=>\(\frac{HF}{HE}=\frac{HB}{HC}\)

=>\(\frac{HF}{HB}=\frac{HE}{HC}\)

=>\(HF\cdot HC=HE\cdot HB\)

d: Xét ΔHFE và ΔHBC có

\(\frac{HF}{HB}=\frac{HE}{HC}\)

\(\hat{FHE}=\hat{BHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFE~ΔHBC

=>\(\hat{HEF}=\hat{HCB}=\hat{FCB}=90^0-\hat{ABC}\left(1\right)\)

Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có

\(\hat{EHA}=\hat{DHB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔHEA~ΔHDB

=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HA}{HB}\)

=>\(\frac{HE}{HA}=\frac{HD}{HB}\)

Xét ΔHED và ΔHAB có

\(\frac{HE}{HA}=\frac{HD}{HB}\)

\(\hat{EHD}=\hat{AHB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHED~ΔHAB

=>\(\hat{HED}=\hat{HAB}=90^0-\hat{ABC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{HED}=\hat{HEF}\)

=>EH là phân giác của góc FED

e: Xét ΔBFC vuông tại F và ΔBDA vuông tại D có

\(\hat{FBC}\) chung

Do đó: ΔBFC~ΔBDA

=>\(\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}\)

=>\(BF\cdot BA=BD\cdot BC\)

Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCDA vuông tại D có

\(\hat{ECB}\) chung

Do đó: ΔCEB~ΔCDA

=>\(\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}\)

=>\(CE\cdot CA=CD\cdot CB\)

\(BF\cdot BA+CE\cdot CA\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC^2\)

xét tứ giác BFHD có 

góc BFH + góc BDH = 180 

mà nó là 2 góc đối => nội tiếp => góc FDH = góc FBE 

chứng minh tương tự với tứ giác CEHD 

=> góc HDE = góc HCE 

Xét tứ giác BFEC có 

góc BFC = góc BEF = 90 

mà nó là 2 góc kề => tứ giác nội tiếp 

mà góc BEC = 1/2 sđ BC = 90 => SĐ BC = 180 => BC là đường kính mà I là trung điểm BC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC 

=> góc FIE = góc FBE + góc FCE 

=> Góc FIE = góc FDH+góc HDE => góc FIE = góc FDE

mà nó là 2 góc kề => nội tiếp 

=> điều phải cm

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔACF

=>AB/AC=AE/AF

=>AE/AB=AF/AC và AE*AC=AB*AF

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

=>góc AEF=góc ACB

c; góc AFH=góc AEH=90 độ

=>AFHE nội tiếp (I)

=>IF=IE

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp (M)

=>MF=ME

=>MI là trung trực của EF

=>MI vuông góc EF

skibidi

b: góc HID+góc HKD=180 độ

=>HIDK nội tiếp

=>góc HIK=góc HDK

=>góc HIK=góc HCB

=>góc HIK=góc HEF

=>EF//IK